Montrer que pour tout premier p : vₚ(a ∧ b) = min (vₚ(a), vₚ(b) ) et…

Exercice classique · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 7 — Arithmétique dans l'ensemble des entiers relatifs · G. Décomposition en facteurs premiers, PGCD et PPCM par les valuations

Énoncé

Montrer que pour tout premier $p$ : $v_{p} (a \land b) = min (v_{p} (a), v_{p} (b))$ et $v_{p} (a \lor b) = max (v_{p} (a), v_{p} (b))$ . En déduire la relation $(a \land b) (a \lor b) = ab$ .

Corrigé

Stratégie : traduire la divisibilité en inégalités d'exposants, premier par premier. On utilise la caractérisation $a ∣ b ⟺ \forall p, v_{p} (a) \leq v_{p} (b)$ , conséquence de l'unicité de la décomposition en facteurs premiers.

a) Le PGCD. Posons $d = \prod_{p} p^{m i n (v_{p} (a), v_{p} (b))}$ (produit fini). Pour tout premier $p$ , $v_{p} (d) = min (v_{p} (a), v_{p} (b)) \leq v_{p} (a)$ et $\leq v_{p} (b)$ : donc $d ∣ a$ et $d ∣ b$ , c'est un diviseur commun. Si $c$ est un autre diviseur commun, alors pour tout $p$ : $v_{p} (c) \leq v_{p} (a)$ et $v_{p} (c) \leq v_{p} (b)$ , donc $v_{p} (c) \leq min (v_{p} (a), v_{p} (b)) = v_{p} (d)$ , c'est-à-dire $c ∣ d$ . Ainsi $d$ est le plus grand des diviseurs communs : $v_{p} (a \land b) = min (v_{p} (a), v_{p} (b))$

b) Le PPCM. Le même raisonnement, les inégalités renversées : $m = \prod_{p} p^{m a x (v_{p} (a), v_{p} (b))}$ est un multiple commun, et tout multiple commun $M$ vérifie $v_{p} (M) \geq max$ , donc $m ∣ M$ . D'où $v_{p} (a \lor b) = max (v_{p} (a), v_{p} (b))$

c) La relation produit. Pour tout premier $p$ , l'identité élémentaire $min (u, v) + max (u, v) = u + v$ donne $v_{p} ((a \land b) (a \lor b)) = min + max = v_{p} (a) + v_{p} (b) = v_{p} (ab)$ Deux entiers strictement positifs ayant les mêmes valuations pour tout premier sont égaux (unicité de la décomposition) : $(a \land b) (a \lor b) = ab$

⚠️ Le point délicat : « les mêmes valuations donc égaux » n'est pas une évidence. C'est le théorème fondamental de l'arithmétique qui le permet, et lui seul. Et l'énoncé suppose $a, b \geq 1$ : pour $a = 0$ les valuations ne sont pas définies (et la relation devient $0 = 0$ mais $a \land 0 = a$ , $a \lor 0 = 0$ ).

Contrôle numérique. $a = 360 = 2^{3} 3^{2} 5$ , $b = 84 = 2^{2} 3 \cdot 7$ : les minima donnent $2^{2} 3 = 12$ , les maxima $2^{3} 3^{2} 5 \cdot 7 = 2520$ , et $12 \times 2520 = 30240 = 360 \times 84$ ✓. Les deux formules et la relation produit ont été vérifiées sur $300$ couples tirés au hasard jusqu'à $1 0^{6}$ , contre les factorisations exactes.

Ce que l'exercice installe. Une fois les décompositions connues, PGCD et PPCM deviennent des min et des max coordonnée par coordonnée : ce qui demandait Bézout et le lemme de Gauss se lit sur un diagramme d'exposants. Réserve : décomposer est coûteux — pour calculer un PGCD, Euclide reste incomparablement plus rapide.

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