Montrer que pour tout n ≥ 2, les n - 1 entiers consécutifs n! + 2, n!

Stratégie : construction explicite. Plutôt que d'estimer la répartition des nombres premiers, on fabrique un intervalle sans premier, aussi long qu'on veut.

a) La construction. Soit $n\ge 2$ et $k$ un entier avec $2\le k\le n$. Alors $k$ divise $n!=1\times 2\times \cdots \times n$ (le facteur $k$ y figure), et $k$ divise $k$ : donc $$k\mid (n!+k)$$

b) Ce diviseur est non trivial. On a $2\le k\le n<n!+k$ : le diviseur $k$ est strictement compris entre $1$ et $n!+k$. Donc $n!+k$ est composé.

⚠️ Le point délicat : il faut que $k$ soit un diviseur strict. L'inégalité $k<n!+k$ est évidente, mais il faut aussi $k>1$ — c'est pourquoi la liste commence à $n!+2$ et non à $n!+1$. Et de fait $n!+1$ peut être premier ($3!+1=7$) : la construction ne dit rien de lui.

c) Conclusion. Les $n-1$ entiers consécutifs $n!+2,n!+3,\dots ,n!+n$ sont tous composés. Comme $n$ est arbitraire, il existe des trous de longueur arbitrairement grande dans la suite des nombres premiers.

Contrôle numérique. Pour $n=5$ : $122,123,124,125$, soit $2\cdot 61$, $3\cdot 41$, $4\cdot 31$, $5^3$ — quatre entiers consécutifs composés. Vérifié par primalité effective pour tous les $n\le 11$.

Ce que l'exercice installe. Les nombres premiers sont infinis (Euclide) mais arbitrairement clairsemés : les deux énoncés coexistent. Aucune régularité ne gouverne leurs écarts ; c'est ce qui rend la conjecture des premiers jumeaux si difficile.