Chacun de ces énoncés est-il vrai ou faux

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 1 — Vocabulaire ensembliste et logique · Quantifications, négations et contre-exemples

Énoncé

Chacun de ces énoncés est-il vrai ou faux ? Le réfuter par un contre-exemple, ou le démontrer : (a) « la somme de deux fonctions décroissantes sur $R$ est décroissante » ; (b) « si $a^{2} = b^{2}$ alors $a = b$ » ; (c) « pour tout réel $x$ , $\frac{1}{x} < x$ ». (L'un des trois résiste à toute recherche de contre-exemple : c'est le signe qu'il faut changer de stratégie et démontrer.)

Corrigé

(a) Vrai, et c'est celui qui résiste. Soient $f$ et $g$ décroissantes sur $R$ et $x < y$ : alors $f (x) \geq f (y)$ et $g (x) \geq g (y)$ ; en additionnant ces deux inégalités de même sens, $f (x) + g (x) \geq f (y) + g (y)$ . Donc $f + g$ est décroissante. (b) Faux : $a = 1$ et $b = - 1$ vérifient $a^{2} = b^{2} = 1$ mais $a \neq = b$ . La conclusion correcte est $a = b$ ou $a = - b$ . (c) Faux : pour $x = \frac{1}{2}$ , $\frac{1}{x} = 2 > \frac{1}{2}$ . (Tout $x$ de $] 0; 1 [$ convient, et tout $x < - 1$ aussi.) La leçon : un contre-exemple suffit à réfuter, mais aucun exemple ne démontre. En (a), après quelques essais infructueux, il faut renoncer à chercher et passer à la preuve générale.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.