Démontrer par l'absurde que est irrationnel

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 1 — Vocabulaire ensembliste et logique · Implication, contraposée et raisonnement par l'absurde

Énoncé

Démontrer par l'absurde que $2$ est irrationnel. Indication : utiliser le résultat « si $n^{2}$ est pair alors $n$ est pair » démontré dans le cours.

Corrigé

Supposons par l'absurde $2 = \frac{p}{q}$ avec $p$ , $q$ entiers non nuls et la fraction irréductible. Alors $p^{2} = 2 q^{2}$ : $p^{2}$ est pair, donc $p$ est pair (résultat du cours, démontré par contraposée), soit $p = 2 k$ . Alors $4 k^{2} = 2 q^{2}$ , donc $q^{2} = 2 k^{2}$ est pair, donc $q$ est pair. Ainsi $p$ et $q$ sont tous deux pairs : la fraction n'était pas irréductible, contradiction. Donc $2$ est irrationnel. $□$

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