Démontrer par l'absurde que est irrationnel

Supposons par l'absurde $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ avec $p$, $q$ entiers non nuls et la fraction irréductible. Alors $p^2=2q^2$ : $p^2$ est pair, donc $p$ est pair (résultat du cours, démontré par contraposée), soit $p=2k$. Alors $4k^2=2q^2$, donc $q^2=2k^2$ est pair, donc $q$ est pair. Ainsi $p$ et $q$ sont tous deux pairs : la fraction n'était pas irréductible, contradiction. Donc $\sqrt{2}$ est irrationnel. $\square$