Démontrer par récurrence que pour tout entier

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 1 — Vocabulaire ensembliste et logique · Le raisonnement par récurrence (programme de terminale)

Énoncé

Démontrer par récurrence que pour tout entier $n \geq 0$ : $2^{n} \geq n + 1$ . (Pour l'hérédité, écrire $2^{n + 1} = 2 \times 2^{n}$ et utiliser l'hypothèse.)

Corrigé

Notons $P (n)$ : « $2^{n} \geq n + 1$ ». Initialisation. Pour $n = 0$ : $2^{0} = 1$ et $0 + 1 = 1$ , donc $2^{0} \geq 1$ . $P (0)$ est vraie. Hérédité. Supposons $2^{n} \geq n + 1$ pour un entier $n \geq 0$ . Alors

$2^{n + 1} = 2 \times 2^{n} \geq 2 (n + 1) = 2 n + 2 = (n + 2) + n \geq n + 2,$

la dernière inégalité venant de $n \geq 0$ . C'est $P (n + 1)$ . Par récurrence, $2^{n} \geq n + 1$ pour tout entier naturel $n$ . Contrôle : $2^{3} = 8 \geq 4$ , $2^{10} = 1024 \geq 11$ — et l'écart ne cesse de croître, l'exponentielle l'emportant très vite sur l'affine.

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