En logique, l'implication « P ⇒ Q » est définie comme vraie sauf…

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 1 — Vocabulaire ensembliste et logique · Logique formelle et tables de vérité

Énoncé

En logique, l'implication « $P \Rightarrow Q$ » est définie comme vraie sauf lorsque $P$ est vraie et $Q$ fausse.

Dresser sa table de vérité, puis celle de « (non $P$ ) ou $Q$ » : les comparer.
En déduire la table de vérité de la négation de « $P \Rightarrow Q$ », et l'énoncer en français.
Retrouver ainsi que « $P \Rightarrow Q$ » et « (non $Q$ ) $\Rightarrow$ (non $P$ ) » ont la même table de vérité.

Corrigé

1. Les deux tables :

$P$	$Q$	$P \Rightarrow Q$	(non $P$ ) ou $Q$
V	V	V	V
V	F	F	F
F	V	V	V
F	F	V	V

Elles sont identiques : « $P \Rightarrow Q$ » signifie exactement « (non $P$ ) ou $Q$ ». 2. La négation est donc vraie dans le seul cas où l'implication est fausse, c'est-à-dire lorsque $P$ est vraie et $Q$ fausse. En français : « $P$ est vraie et pourtant $Q$ est fausse » — c'est précisément la forme d'un contre-exemple. 3. « (non $Q$ ) $\Rightarrow$ (non $P$ ) » s'écrit, d'après la question 1, « $Q$ ou (non $P$ ) », c'est-à-dire « (non $P$ ) ou $Q$ » : la même proposition qu'au 1. Les deux implications ont donc la même table de vérité, ce qui justifie le raisonnement par contraposée. Le point qui déroute : une implication de prémisse fausse est vraie. « Si $2 + 2 = 5$ , alors je suis le pape » est une implication vraie — elle ne promet rien puisque son hypothèse n'est jamais réalisée.

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