Expliciter la quantification implicite de chaque énoncé, puis dire…

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 1 — Vocabulaire ensembliste et logique · Quantifications, négations et contre-exemples

Énoncé

Expliciter la quantification implicite de chaque énoncé, puis dire s'il est vrai ou faux :

« Un nombre au carré est plus grand que ce nombre. »
« Si un entier est divisible par $9$ , alors il est divisible par $3$ . »
« L'inverse d'un nombre plus grand que $1$ est plus petit que $1$ . »

Corrigé

1. Sous-entendu : « pour tout réel $x$ , $x^{2} > x$ ». Faux : pour $x = \frac{1}{2}$ , $x^{2} = \frac{1}{4} < \frac{1}{2}$ . L'énoncé n'est vrai que pour $x < 0$ ou $x > 1$ . 2. Sous-entendu : « pour tout entier $n$ , si $9$ divise $n$ alors $3$ divise $n$ ». Vrai : si $n = 9 k$ , alors $n = 3 \times (3 k)$ . 3. Sous-entendu : « pour tout réel $x > 1$ , $\frac{1}{x} < 1$ ». Vrai : $x > 1 > 0$ donne, en divisant par $x > 0$ , $1 > \frac{1}{x}$ . Contrôle : le premier énoncé est le seul des trois où l'omission du quantificateur cache une restriction ( $x < 0$ ou $x > 1$ ) — c'est précisément pour cela qu'il paraît vrai quand on l'énonce en français.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.