Le raisonnement par récurrence démontre une propriété P(n) pour tout…

Exercice supplémentaire · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 1 — Vocabulaire ensembliste et logique · Le raisonnement par récurrence (programme de terminale)

Énoncé

Le raisonnement par récurrence démontre une propriété $P (n)$ pour tout entier $n \geq n_{0}$ en établissant deux points : l'initialisation ( $P (n_{0})$ est vraie) et l'hérédité (si $P (n)$ est vraie pour un entier $n \geq n_{0}$ , alors $P (n + 1)$ l'est aussi).

Démontrer ainsi que pour tout entier $n \geq 1$ , $1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ .
Expliquer pourquoi l'hérédité seule ne prouve rien.

Corrigé

1. Notons $P (n)$ : « $1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ ». Initialisation. Pour $n = 1$ : le membre de gauche vaut $1$ , celui de droite $\frac{1 \times 2}{2} = 1$ . $P (1)$ est vraie. Hérédité. Supposons $P (n)$ vraie pour un entier $n \geq 1$ . Alors

$1 + 2 + \dots + n + (n + 1) = \frac{n ( n + 1 )}{2} + (n + 1) = (n + 1) (\frac{n}{2} + 1) = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2},$

qui est bien la formule au rang $n + 1$ . $P (n + 1)$ est vraie. Par récurrence, $P (n)$ est vraie pour tout $n \geq 1$ . 2. L'hérédité seule ne prouve rien : elle dit uniquement « si l'on est au rang $n$ , on passe au rang $n + 1$ », sans jamais garantir qu'on se trouve quelque part. Ainsi la propriété « $n = n + 1$ » est héréditaire (si $n = n + 1$ alors $n + 1 = n + 2$ ) et pourtant fausse pour tout $n$ : c'est son initialisation qui manque. Une échelle dont tous les barreaux se suivent ne sert à rien si l'on ne peut atteindre le premier.

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