- Montrer, en distinguant les cas n pair et n impair, que le carré…

1. Si $n=2k$, alors $n^2=4k^2$ : reste $0$. Si $n=2k+1$, alors

$$n^2=4k^2+4k+1=4(k^2+k)+1:$$

reste $1$. Le carré d'un entier a donc pour reste $0$ ou $1$ dans la division par $4$. 2. La somme de deux carrés a pour reste $0+0=0$, $0+1=1$ ou $1+1=2$ : les seuls restes possibles sont $0$, $1$ et $2$. Le reste $3$ est exclu. 3. Or $2023=4\times 505+3$ : son reste dans la division par $4$ vaut $3$. D'après la question 2, $2023$ n'est donc pas la somme des carrés de deux entiers. Contrôle : $2023-1=2022$, $2023-4=2019$, $2023-9=2014$, … aucun n'est un carré — mais un tel balayage, même complet, serait long ; le raisonnement sur les restes tranche en trois lignes. Prolongement : ce type d'argument, dit « de congruence », est la porte d'entrée de l'arithmétique modulaire, étudiée en option mathématiques expertes et en études supérieures.