- Montrer, en distinguant les trois cas n = 3k, n = 3k+1 et n = 3k+2…

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 1 — Vocabulaire ensembliste et logique · Implication et raisonnements

Énoncé

Montrer, en distinguant les trois cas $n = 3 k$ , $n = 3 k + 1$ et $n = 3 k + 2$ , que si $n^{2}$ est un multiple de $3$ alors $n$ est un multiple de $3$ .
En déduire, par l'absurde, qu'il n'existe aucun rationnel dont le carré vaut $3$ — autrement dit que $3$ est irrationnel. (Reprendre la trame de la démonstration du cours pour $2$ .)

Corrigé

1. Tout entier naturel $n$ s'écrit sous exactement l'une des trois formes $3 k$ , $3 k + 1$ ou $3 k + 2$ , avec $k$ entier. Alors :

$(3 k)^{2} = 3 (3 k^{2}); (3 k + 1)^{2} = 3 (3 k^{2} + 2 k) + 1; (3 k + 2)^{2} = 3 (3 k^{2} + 4 k + 1) + 1.$

Le carré est donc multiple de $3$ dans le premier cas seulement, et de reste $1$ dans les deux autres. Ainsi, si $n^{2}$ est un multiple de $3$ , le seul cas possible est $n = 3 k$ : $n$ est multiple de $3$ . 2. Supposons par l'absurde qu'il existe un rationnel $\frac{p}{q}$ , écrit sous forme irréductible, tel que $(\frac{p}{q})^{2} = 3$ . Alors $p^{2} = 3 q^{2}$ : $p^{2}$ est multiple de $3$ , donc $p$ aussi d'après la question 1. Écrivons $p = 3 p^{'}$ : il vient $9 p^{'2} = 3 q^{2}$ , soit $q^{2} = 3 p^{'2}$ . Le même argument donne alors $3 ∣ q$ . Ainsi $3$ divise à la fois $p$ et $q$ , ce qui contredit l'irréductibilité de la fraction. Il n'existe donc aucun rationnel de carré $3$ : $3$ est irrationnel. Où sert la question 1 : exactement au même endroit que « $n^{2}$ pair $\Rightarrow$ $n$ pair » dans la preuve du cours pour $2$ . C'est la seule pièce à changer.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.