mathématiques (première) · Chapitre 1 · Exercice d'entraînement

- Montrer, en distinguant les trois cas n = 3k, n = 3k+1 et n = 3k+2…

Vocabulaire ensembliste et logique · Implication et raisonnements · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Montrer, en distinguant les trois cas $n = 3 k$ , $n = 3 k + 1$ et $n = 3 k + 2$ , que si $n^{2}$ est un multiple de $3$ alors $n$ est un multiple de $3$ .
En déduire, par l'absurde, qu'il n'existe aucun rationnel dont le carré vaut $3$ — autrement dit que $3$ est irrationnel. (Reprendre la trame de la démonstration du cours pour $2$ .)

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1. Montrer, en distinguant les trois cas $n = 3 k$ , $n = 3 k + 1$ et $n = 3 k + 2$ , que si $n^{2}$ est un multiple de $3$ alors $n$ est un multiple de $3$ .

Élève

Je vois qu'il faut distinguer trois cas, mais je ne vois pas quoi faire dans chaque cas. Je dois calculer quoi exactement ?

Tu veux montrer une implication : si $n^{2}$ est un multiple de $3$ , alors $n$ est un multiple de $3$ . Dans chaque cas, le but est d'étudier la forme du carré de $n$ . Si tu pars de $n = 3 k + 1$ , comment écris-tu $n^{2}$ ?

Élève

Je développe : $(3 k + 1)^{2} = 9 k^{2} + 6 k + 1$ . Mais ensuite, je ne sais pas quoi regarder dans cette expression.

C'est le bon développement. Maintenant, pour savoir si ce nombre est multiple de $3$ , essaie de l'écrire comme $3 \times (quelque chose) + un reste$ . Que trouves-tu comme reste pour $(3 k + 1)^{2}$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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