n° 108

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 1 — Vocabulaire ensembliste et logique · Implication et raisonnements

Énoncé

Démontrer par contraposée : pour tout entier naturel $n$ , « si $n^{2} + 1$ est pair, alors $n$ est impair ». (La contraposée porte sur « $n$ pair », dont on sait écrire une forme explicite.)

Corrigé

La contraposée de « si $n^{2} + 1$ est pair, alors $n$ est impair » est :

« si

n

est pair, alors

n^{2} + 1

est impair ».

Démontrons-la. Si $n$ est pair, il s'écrit $n = 2 k$ avec $k$ entier naturel, et alors

$n^{2} + 1 = 4 k^{2} + 1 = 2 (2 k^{2}) + 1,$

qui est impair. La contraposée est donc vraie, et l'implication de départ l'est aussi. Pourquoi passer par la contraposée : l'hypothèse « $n^{2} + 1$ pair » ne se manipule pas, alors que « $n$ pair » se traduit immédiatement par $n = 2 k$ . On échange une hypothèse opaque contre une hypothèse maniable.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.