n° 208

Supposons par l'absurde qu'il n'existe qu'un nombre fini de nombres premiers, $p_1$, $p_2$, …, $p_k$, et posons

$$N=p_1{p}_2\cdots p_k+1.$$

Comme $N\ge 3$, il admet un plus petit diviseur $d$ strictement supérieur à $1$, et ce $d$ est nécessairement premier (tout diviseur de $d$ autre que $1$ divise $N$ et est $\le d$). Il figure donc dans la liste : $d=p_i$ pour un certain $i$. Mais alors $p_i$ divise $N$ et divise aussi le produit $p_1{p}_2\cdots p_k$, donc il divise leur différence, qui vaut $1$ — ce qui est impossible pour un nombre premier. La supposition est absurde : il existe une infinité de nombres premiers. Une erreur fréquente : croire que $N$ est lui-même premier. Il ne l'est pas toujours — par exemple $2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13+1=30031=59\times 509$. L'argument ne porte pas sur $N$, mais sur ses diviseurs premiers.