n° 6

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 1 — Vocabulaire ensembliste et logique · Quantifications, négations et contre-exemples

Énoncé

Pour chaque proposition : expliciter la quantification, dire si elle est vraie ou fausse, écrire sa négation, et dire si cette négation est vraie ou fausse.

« Le carré d'un nombre réel est strictement positif. »
« Il existe un entier naturel égal à son propre carré. »
« Si le carré d'un réel vaut $4$ , alors ce réel vaut $2$ . »

Corrigé

1. « Pour tout réel $x$ , $x^{2} > 0$ » : fausse, car $0^{2} = 0$ n'est pas strictement positif. Négation : « il existe un réel $x$ tel que $x^{2} \leq 0$ », vraie (prendre $x = 0$ ).

2. « Il existe un entier naturel $n$ tel que $n^{2} = n$ » : vraie ( $n = 0$ convient, et $n = 1$ aussi). Négation : « pour tout entier naturel $n$ , $n^{2} \neq = n$ », fausse.

3. « Pour tout réel $x$ , si $x^{2} = 4$ alors $x = 2$ » : fausse, car $x = - 2$ vérifie l'hypothèse sans vérifier la conclusion. Négation : « il existe un réel $x$ tel que $x^{2} = 4$ sans que $x = 2$ », vraie — et $- 2$ en est le témoin.

Contrôle : dans chacun des trois cas, la proposition et sa négation ont bien des valeurs de vérité contraires. Une négation qui serait fausse en même temps que l'énoncé serait le signe d'une erreur.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.