mathématiques (première) · Chapitre 1 · Exercice de TD

n° 8

Vocabulaire ensembliste et logique · Implication, contraposée et raisonnement par l'absurde · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Démontrer par contraposée : pour tout réel $x$ , « si $x^{2}$ est irrationnel, alors $x$ est irrationnel ».

Corrigé

La contraposée s'énonce : « si $x$ est rationnel, alors $x^{2}$ est rationnel ». Or si $x = \frac{p}{q}$ avec $p \in Z$ et $q \in N^{*}$ , alors $x^{2} = \frac{p ^{2}}{q ^{2}}$ est un quotient d'entiers : il est rationnel. La contraposée est vraie, donc l'implication aussi. $□$

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