Principe des tiroirs. Si l'on range n+1 objets dans n tiroirs, l'un au…

1. Par l'absurde : supposons que chaque tiroir contienne au plus un objet. Alors le nombre total d'objets est au plus $1+1+\cdots +1=n$ (une fois par tiroir), ce qui contredit l'hypothèse qu'il y en a $n+1$. Donc l'un au moins des tiroirs en contient au moins deux. 2. Les tiroirs sont les $12$ mois, les objets les $13$ personnes. Comme $13=12+1$, deux personnes au moins partagent un mois de naissance. 3. Les tiroirs sont les quatre restes possibles dans la division par $4$ : $0$, $1$, $2$, $3$. Cinq entiers pour quatre tiroirs : deux d'entre eux, disons $a$ et $b$, ont le même reste $r$. En écrivant $a=4q+r$ et $b=4q^{\prime }+r$, il vient $a-b=4(q-q^{\prime })$, multiple de $4$. Ce que le principe n'apporte pas : il affirme l'existence d'un tiroir chargé sans jamais dire lequel. C'est une démonstration d'existence pure, et c'est précisément là sa force.