Soit un ensemble et, deux parties de

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 1 — Vocabulaire ensembliste et logique · Ensembles, opérations et statut des lettres

Énoncé

Soit $E$ un ensemble et $A$ , $B$ deux parties de $E$ .

Traduire en langage courant « $x \in A \cap B$ », puis « $x \in A \cup B$ ». En déduire que ces deux ensembles sont égaux.
Vérifier cette égalité sur $E = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}$ , $A = {1; 2; 3; 4}$ et $B = {3; 4; 5}$ .
Déterminer $[- 3; 2] \cap] 0; 5 [$ et $[- 3; 2] \cup] 0; 5 [$ .

Corrigé

1. « $x \in A \cap B$ » signifie que $x$ n'est pas à la fois dans $A$ et dans $B$ ; autrement dit $x$ n'est pas dans $A$ ou $x$ n'est pas dans $B$ (ou inclusif), c'est-à-dire $x \in A$ ou $x \in B$ , soit $x \in A \cup B$ . Les deux ensembles ont exactement les mêmes éléments : ils sont égaux.

2. $A \cap B = {3; 4}$ , donc $A \cap B = {1; 2; 5; 6; 7; 8}$ . Par ailleurs $A = {5; 6; 7; 8}$ et $B = {1; 2; 6; 7; 8}$ , donc $A \cup B = {1; 2; 5; 6; 7; 8}$ . ✓

3. $[- 3; 2] \cap] 0; 5 [=] 0; 2]$ et $[- 3; 2] \cup] 0; 5 [= [- 3; 5 [$ .

Contrôle : la négation d'un « et » est un « ou » — c'est la seconde loi de De Morgan, jumelle de $A \cup B = A \cap B$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.