Une table de vérité donne la valeur de vérité d'une proposition…

Exercice supplémentaire · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 1 — Vocabulaire ensembliste et logique · Logique formelle et tables de vérité

Énoncé

Une table de vérité donne la valeur de vérité d'une proposition composée pour chacune des combinaisons possibles des propositions élémentaires.

Dresser la table de vérité de « non ( $P$ et $Q$ ) », puis celle de « (non $P$ ) ou (non $Q$ ) ». Que constate-t-on ?
Faire de même pour « non ( $P$ ou $Q$ ) » et « (non $P$ ) et (non $Q$ ) ».

(Ces deux constatations sont les lois de De Morgan, ici démontrées côté logique et non côté ensembles.)

Corrigé

1. Table de « non ( $P$ et $Q$ ) » et de « (non $P$ ) ou (non $Q$ ) » :

$P$	$Q$	$P$ et $Q$	non ( $P$ et $Q$ )	(non $P$ ) ou (non $Q$ )
V	V	V	F	F
V	F	F	V	V
F	V	F	V	V
F	F	F	V	V

Les deux dernières colonnes sont identiques : les propositions sont équivalentes. 2. De même :

$P$	$Q$	$P$ ou $Q$	non ( $P$ ou $Q$ )	(non $P$ ) et (non $Q$ )
V	V	V	F	F
V	F	V	F	F
F	V	V	F	F
F	F	F	V	V

Encore une fois les deux dernières colonnes coïncident. Contrôle : on retrouve bien les lois de De Morgan du cours, à ceci près qu'elles portaient là sur les ensembles ( $A \cap B = A \cup B$ ). Nier un « et » donne un « ou », et réciproquement : c'est le même énoncé, dit deux fois.

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