Dans une population, des personnes sont vaccinées

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 10 — Probabilités conditionnelles et indépendance · Arbres et probabilités totales

Énoncé

Dans une population, $30 %$ des personnes sont vaccinées. Parmi les vaccinées, $5 %$ contractent la grippe ; parmi les non vaccinées, $20 %$ . Calculer la probabilité qu'une personne prise au hasard contracte la grippe, puis, sachant qu'elle a la grippe, la probabilité qu'elle soit vaccinée.

Corrigé

Notons $V$ : « la personne est vaccinée » et $G$ : « elle contracte la grippe ». L'énoncé donne $P (V) = 0, 30$ , $P_{V} (G) = 0, 05$ et $P_{V} (G) = 0, 20$ .

Probabilité de contracter la grippe. ${V, V}$ est une partition de l'univers ; formule des probabilités totales :

$P (G) = P (V) P_{V} (G) + P (V) P_{V} (G) = 0, 30 \times 0, 05 + 0, 70 \times 0, 20 = 0, 015 + 0, 140 = 0, 155.$

Inversion du conditionnement.

$P_{G} (V) = \frac{P ( V \cap G )}{P ( G )} = \frac{0 , 015}{0 , 155} = \frac{3}{31} \approx 0, 097.$

Moins de $10 %$ des grippés sont vaccinés, alors que les vaccinés forment $30 %$ de la population : le vaccin est bien efficace.

Contrôle : $P_{G} (V) = \frac{0 , 140}{0 , 155} = \frac{28}{31}$ , et $\frac{3}{31} + \frac{28}{31} = 1$ ✓.

Erreur attendue : répondre $0, 05$ , qui est $P_{V} (G)$ — la probabilité d'avoir la grippe sachant qu'on est vacciné, pas celle d'être vacciné sachant qu'on a la grippe. Ce sont les deux nombres que tout le chapitre apprend à distinguer.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.