Indépendance deux à deux, mais pas mutuelle (notion du supérieur)

L'univers compte quatre issues équiprobables : $PP$, $PF$, $FP$, $FF$, chacune de probabilité $\frac{1}{4}$.

Les trois probabilités simples.

$$A=\{PP,PF\},B=\{PP,FP\},C=\{PP,FF\},P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{2}.$$

Indépendance deux à deux. Chacune des trois intersections se réduit à la seule issue $PP$ :

$$A\cap B=A\cap C=B\cap C=\{PP\},P=\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}.$$

Les trois égalités $P(A\cap B)=P(A)P(B)$, $P(A\cap C)=P(A)P(C)$ et $P(B\cap C)=P(B)P(C)$ sont donc vérifiées : les événements sont bien deux à deux indépendants.

Mais pas mutuellement. $A\cap B\cap C=\{PP\}$ aussi, donc

$$P(A\cap B\cap C)=\frac{1}{4}\ne \frac{1}{8}=P(A)P(B)P(C).$$

Pourquoi c'est instructif : deux quelconques de ces trois événements n'apprennent rien l'un sur l'autre, mais deux d'entre eux ensemble déterminent le troisième — si la première donne pile et la seconde aussi, alors les résultats sont évidemment identiques. L'indépendance deux à deux ne suffit donc pas à garantir l'indépendance de la famille.

Prolongement : en études supérieures, on définit l'indépendance mutuelle en exigeant $P(A_{i_1}\cap \cdots \cap A_{i_k})=P(A_{i_1})\cdots P(A_{i_k})$ pour toutes les sous-familles — l'exemple ci-dessus montre qu'aucune de ces conditions n'est superflue.