Inégalité de Boole (hors programme)

1. Le cas de deux événements. La formule du crible (chapitre 1) donne

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$

Comme $P(A\cap B)\ge 0$, on retranche une quantité positive ou nulle, donc

$$P(A\cup B)\le P(A)+P(B),$$

avec égalité si et seulement si le terme retranché est nul, c'est-à-dire $P(A\cap B)=0$. $\square$

Attention à l'énoncé exact de la condition : c'est $P(A\cap B)=0$, et non $A\cap B=\varnothing$. Deux événements incompatibles vérifient bien sûr la condition, mais un événement non vide de probabilité nulle la vérifie aussi.

2. La généralisation par récurrence. Notons $\mathcal{P}(n)$ la propriété

$$P(A_1\cup \cdots \cup A_n)\le P(A_1)+\cdots +P(A_n).$$

Initialisation. Pour $n=1$, l'inégalité s'écrit $P(A_1)\le P(A_1)$ : vraie. (Le cas $n=2$ est la question 1.)

Hérédité. Supposons $\mathcal{P}(n)$ vraie pour un entier $n\ge 1$. Posons $U=A_1\cup \cdots \cup A_n$. En appliquant la question 1 aux deux événements $U$ et $A_{n+1}$, puis l'hypothèse de récurrence à $P(U)$ :

$$P(U\cup A_{n+1})\le P(U)+P(A_{n+1})\le (P(A_1)+\cdots +P(A_n))+P(A_{n+1}).$$

C'est exactement $\mathcal{P}(n+1)$.

Conclusion. Par récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier $n\ge 1$. $\square$

Contrôle sur un exemple. Reprenons les trois composants de l'exercice d'entraînement :

$$P(\text{au moins une panne})=0,1621\le 0,10+0,05+0,02=0,17.$$

L'inégalité est bien vérifiée, et l'écart mesure exactement ce que l'addition compte deux fois. ✓

À quoi cela sert : lorsqu'on veut garantir qu'aucun de plusieurs incidents ne survient, l'inégalité de Boole donne en une ligne une majoration du risque total, sans aucune hypothèse d'indépendance — hypothèse souvent fausse en pratique.