La formule de Bayes (hors programme de première)

Démonstration. Par définition d'une probabilité conditionnelle (licite car $P(B)\ne 0$) :

$$P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

On remplace ensuite chacun des deux termes :

• le numérateur par la règle du produit : $P(A\cap B)=P(A)P_A(B)$ ;
• le dénominateur par la formule des probabilités totales appliquée à la partition $\{A,\overline{A}\}$ : $P(B)=P(A)P_A(B)+P(\overline{A})P_{\overline{A}}(B)$.

D'où

$$P_B(A)=\frac{P(A)P_A(B)}{P(A)P_A(B)+P(\overline{A})P_{\overline{A}}(B)}.\square$$

La formule ne contient donc rien de nouveau : elle empaquette en une ligne les deux résultats du cours. Son intérêt est ailleurs — elle dit comment passer de « ce que le test fait quand on est malade » à « ce que l'on est quand le test est positif ».

Application au test de dépistage. Avec $P(M)=0,01$, $P_M(T)=0,95$ et $P_{\overline{M}}(T)=0,03$ :

$$P_T(M)=\frac{0,01\times 0,95}{0,01\times 0,95+0,99\times 0,03}=\frac{0,0095}{0,0095+0,0297}=\frac{0,0095}{0,0392}\approx 0,242,$$

exactement la valeur du cours. ✓

Vocabulaire : $P(A)$ est la probabilité a priori (avant le test), $P_B(A)$ la probabilité a posteriori (après). Bayes est la règle de mise à jour d'une croyance par une observation.

Prolongement : c'est le socle de tout le raisonnement statistique moderne — filtrage des courriels indésirables, diagnostic médical assisté, apprentissage automatique.