Le paradoxe de Simpson

Groupe par groupe.

$$\text{Cas beˊnins :}A:\frac{90}{100}=90\%>B:\frac{800}{1000}=80\%;$$

$$\text{Cas graves :}A:\frac{300}{1000}=30\%>B:\frac{20}{100}=20\%.$$

Le traitement $A$ l'emporte dans les deux groupes, de dix points à chaque fois.

Sur l'ensemble des patients.

$$A:\frac{90+300}{1100}=\frac{390}{1100}\approx 35,5\%;B:\frac{800+20}{1100}=\frac{820}{1100}\approx 74,5\%.$$

Le traitement $B$ l'emporte largement — l'inverse de la conclusion précédente.

Explication. Les deux traitements n'ont pas été administrés aux mêmes populations : $A$ a été essayé presque exclusivement sur des cas graves ($1000$ sur $1100$), $B$ presque exclusivement sur des cas bénins ($1000$ sur $1100$). Or les cas graves guérissent beaucoup moins souvent, quel que soit le traitement. Le taux global de $A$ est donc tiré vers le bas par sa clientèle, celui de $B$ tiré vers le haut par la sienne.

En langage de probabilités conditionnelles : on compare $P_A(\text{gueˊrison})$ et $P_B(\text{gueˊrison})$ alors que la gravité, variable cachée, est associée à la fois au traitement reçu et à la guérison. Il faut conditionner par la gravité — c'est-à-dire comparer groupe par groupe — pour comparer ce qui est comparable.

La leçon : agréger deux tableaux peut inverser une conclusion. C'est pourquoi les essais cliniques sérieux randomisent l'attribution du traitement : le tirage au sort garantit que les deux groupes ont la même composition, et rend l'agrégation légitime.