Le paradoxe des anniversaires

1. La formule. Numérotons les personnes de $1$ à $n$. La première peut être née n'importe quel jour ($365$ possibilités) ; pour que la deuxième ait une date différente, il lui reste $364$ jours sur $365$ ; puis $363$ sur $365$ pour la troisième, et ainsi de suite. Les naissances étant indépendantes, la règle du produit donne

$$p_n=\frac{364}{365}\times \frac{363}{365}\times \cdots \times \frac{365-n+1}{365}=\frac{365\times 364\times \cdots \times (365-n+1)}{365^n}.$$

2. Le programme.

def proba_distincts(n):
    # Probabilite que n personnes aient des anniversaires deux a deux distincts
    p = 1.0
    for k in range(n):
        p = p * (365 - k) / 365
    return p

n = 1
while 1 - proba_distincts(n) <= 0.5:
    n = n + 1
print(n, 1 - proba_distincts(n))     # 23  0.5073

3. Le résultat. Dès $n=23$, la probabilité qu'au moins deux personnes partagent leur anniversaire dépasse $\frac{1}{2}$ : elle vaut $\approx 0,5073$, contre $\approx 0,4757$ pour $n=22$.

Pourquoi c'est si peu ? L'intuition compare $23$ à $365$ ; mais ce qui compte, c'est le nombre de couples de personnes, $\frac{23\times 22}{2}=253$ — un nombre du même ordre que $365$. On ne cherche pas quelqu'un qui partage votre anniversaire (il faudrait alors $253$ personnes pour atteindre une chance sur deux), mais deux personnes quelconques qui partagent le leur.

Prolongement : le même calcul, appelé « paradoxe des anniversaires », mesure en informatique le risque de collision d'une fonction de hachage.