Le problème de Monty Hall

Numérotons les portes et supposons, sans perte de généralité, que le candidat choisit la porte $1$. La voiture est derrière chacune des trois portes avec la probabilité $\frac{1}{3}$.

Stratégie « je garde ma porte ». Le candidat gagne si et seulement si la voiture était derrière la porte $1$ — l'ouverture d'une porte vide n'y change rien, puisque le présentateur peut toujours en ouvrir une. Donc

$$P(\text{gagner en gardant})=\frac{1}{3}.$$

Stratégie « je change ». Les deux stratégies s'excluent et l'une des deux gagne toujours : changer gagne exactement quand garder perd, donc

$$P(\text{gagner en changeant})=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$$

Le même résultat par l'arbre, cas par cas.

Changer gagne dans deux cas sur trois : $\frac{2}{3}$. ✓

Conclusion : il a tout intérêt à changer, ce qui double ses chances.

Où se cache l'information ? Le présentateur sait où est la voiture, et son choix n'est pas libre : dans les deux derniers cas, il est forcé. C'est cette contrainte qui transmet de l'information au candidat. Si le présentateur ouvrait une porte au hasard (et pouvait donc révéler la voiture), les deux stratégies se vaudraient — le paradoxe disparaîtrait.

Erreur attendue : « il reste deux portes, donc une chance sur deux ». Ce raisonnement suppose les deux portes restantes symétriques ; elles ne le sont pas, car l'une a été choisie avant l'ouverture et l'autre après.