Loi binomiale (programme de terminale)

Exercice supplémentaire · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 10 — Probabilités conditionnelles et indépendance · Vers la terminale : répétitions et chaînes

Énoncé

Loi binomiale (programme de terminale). On répète $4$ fois, de façon indépendante, une épreuve dont la probabilité de succès est $p = 0, 3$ ; $X$ compte les succès.

À l'aide d'un arbre, calculer $P (X = 0)$ , $P (X = 1)$ et $P (X = 4)$ .
Justifier que $P (X = k)$ est le produit de $0, 3^{k} \times 0, 7^{4 - k}$ par le nombre de chemins de l'arbre menant à $k$ succès. Dresser la loi complète et vérifier que la somme des probabilités vaut $1$ .

Corrigé

1. Les trois valeurs lues sur l'arbre. L'arbre a $4$ niveaux et $2^{4} = 16$ chemins, chacun de probabilité $0, 3^{k} \times 0, 7^{4 - k}$ où $k$ est son nombre de succès.

$X = 0$ : un seul chemin (quatre échecs), $P (X = 0) = 0, 7^{4} = 0, 2401$ ;
$X = 1$ : quatre chemins (le succès peut être à l'une des quatre étapes), $P (X = 1) = 4 \times 0, 3 \times 0, 7^{3} = 4 \times 0, 3 \times 0, 343 = 0, 4116$ ;
$X = 4$ : un seul chemin, $P (X = 4) = 0, 3^{4} = 0, 0081$ .

2. La forme générale. Tous les chemins menant à $k$ succès contiennent exactement $k$ branches « succès » (poids $0, 3$ ) et $4 - k$ branches « échec » (poids $0, 7$ ) : par la règle du produit, ils ont tous la même probabilité $0, 3^{k} \times 0, 7^{4 - k}$ . Par la règle de la somme, $P (X = k)$ est donc ce nombre multiplié par le nombre de chemins. Ce nombre de chemins vaut $1, 4, 6, 4, 1$ pour $k = 0, 1, 2, 3, 4$ (on choisit les $k$ étapes gagnantes parmi $4$ ).

$k$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
Nombre de chemins	$1$	$4$	$6$	$4$	$1$
$P (X = k)$	$0, 2401$	$0, 4116$	$0, 2646$	$0, 0756$	$0, 0081$

Contrôle : $0, 2401 + 0, 4116 + 0, 2646 + 0, 0756 + 0, 0081 = 1$ exactement ✓. (Le contrôle est fiable : les cinq nombres sont des décimaux exacts, pas des valeurs approchées.)

Prolongement : en terminale, ces nombres de chemins reçoivent un nom et une notation, les coefficients binomiaux $(k n)$ , et la loi de $X$ s'appelle la loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p = 0, 3$ : $P (X = k) = (k 4) p^{k} (1 - p)^{4 - k}$ . On y démontre aussi $E (X) = n p = 1, 2$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.