n° 202

Les deux nombres que le procureur confond. Notons $I$ : « l'accusé est innocent » et $C$ : « son profil correspond à la trace ».

• $P_I(C)=10^{-6}$ : la probabilité qu'un innocent pris au hasard présente ce profil. C'est le nombre fourni par le laboratoire.
• $P_C(I)$ : la probabilité que l'accusé soit innocent sachant que son profil correspond. C'est le nombre qui intéresse le tribunal.

Le procureur annonce le premier en croyant énoncer le second : c'est l'inversion illicite des conditionnements, la même faute que sur les tests de dépistage.

Estimation de $P_C(I)$. Sur $10$ millions d'habitants, le nombre moyen d'innocents présentant ce profil vaut

$$(10^7-1)\times 10^{-6}\approx 10.$$

Le coupable, lui, présente ce profil à coup sûr. Environ $11$ personnes correspondent donc à la trace, dont $10$ innocentes :

$$P_C(I)\approx \frac{10}{11}\approx 0,91.$$

Contrôle par la formule de Bayes. Avec $P(I)=1-10^{-7}$, $P_I(C)=10^{-6}$, $P(\overline{I})=10^{-7}$ et $P_{\overline{I}}(C)=1$ :

$$P_C(I)=\frac{(1-10^{-7})\times 10^{-6}}{(1-10^{-7})\times 10^{-6}+10^{-7}\times 1}\approx \frac{10^{-6}}{1,1\times 10^{-6}}=\frac{10}{11}\approx 0,909.✓$$

Loin d'être coupable à $99,9999\%$, l'accusé est, sur cette seule preuve, innocent avec une probabilité de l'ordre de $90\%$. Comme pour les maladies rares, c'est la taille de la population qui fabrique les faux positifs.

Ce qui change tout dans la pratique judiciaire : la trace ADN ne vaut que combinée à d'autres éléments qui restreignent la population de départ. Si l'enquête a d'abord ramené les suspects à $100$ personnes, le calcul devient $\frac{99\times 10^{-6}}{99\times 10^{-6}+1}\approx 10^{-4}$ : la même analyse de laboratoire devient accablante. Une probabilité conditionnelle n'a de sens que rapportée à l'information dont on dispose.