Trois composants indépendants tombent en panne au cours d'une année…

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 10 — Probabilités conditionnelles et indépendance · Indépendance, répétitions et simulation

Énoncé

Trois composants indépendants tombent en panne au cours d'une année avec les probabilités $0, 10$ , $0, 05$ et $0, 02$ . Le système ne fonctionne que si les trois composants fonctionnent. Calculer la probabilité que le système fonctionne un an, puis celle qu'au moins un composant tombe en panne.

Corrigé

Notons $F_{1}$ , $F_{2}$ , $F_{3}$ : « le composant $i$ fonctionne pendant un an ». Ces événements sont indépendants, de probabilités $0, 90$ , $0, 95$ et $0, 98$ .

Le système fonctionne. Il faut que les trois fonctionnent :

$P = 0, 90 \times 0, 95 \times 0, 98 = 0, 855 \times 0, 98 = 0, 8379.$

Au moins un composant tombe en panne. C'est l'événement contraire :

$P = 1 - 0, 8379 = 0, 1621.$

Piège classique : additionner les probabilités de panne, $0, 10 + 0, 05 + 0, 02 = 0, 17$ . Ce nombre est trop grand — il compte deux fois les cas où deux composants tombent en panne ensemble. (Il n'est pas absurde pour autant : c'est un majorant, celui que donne l'inégalité de Boole du dernier exercice supplémentaire, $0, 1621 \leq 0, 17$ .)

Ce que l'exercice illustre : un système « en série » est moins fiable que son composant le plus faible. Trois maillons à $90$ , $95$ et $98 %$ donnent un ensemble à $83, 8 %$ — la fiabilité se multiplie, elle ne se moyenne pas.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.