Un archer atteint la cible avec la probabilité 0,8, indépendamment à…

Les tirs sont indépendants : la probabilité d'une suite de résultats est le produit des probabilités de chacun.

Cinq réussites. $P=0,8^5=0,32768\approx 0,328$.

Au moins un échec. C'est l'événement contraire du précédent :

$$P=1-0,8^5=1-0,32768=0,67232\approx 0,672.$$

Combien de tirs pour dépasser $0,999$ ? Avec $n$ tirs, « au moins une réussite » est le contraire de « $n$ échecs », donc

$$P=1-0,2^n>0,999⟺0,2^n<0,001.$$

On teste : $0,2^3=0,008$, $0,2^4=0,0016$, $0,2^5=0,00032<0,001$. Il faut donc $\mathbf{n}=5$ tirs (la fiabilité vaut alors $99,968\%$).

Contrôle : $n=4$ ne suffit pas, puisque $0,0016>0,001$. ✓

Méthode à retenir : « au moins un… » se traite toujours par l'événement contraire, « aucun », qui est un seul chemin de l'arbre au lieu d'une somme.