Un joueur dispose de deux dés d'apparence identique

Probabilités conditionnelles et indépendance · Arbres pondérés et probabilités totales · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un joueur dispose de deux dés d'apparence identique : l'un est équilibré, l'autre est truqué et donne un $6$ avec probabilité $\frac{1}{2}$ (les cinq autres faces restant équiprobables entre elles). Il choisit un dé au hasard et le lance. On admet que deux lancers d'un même dé sont indépendants.

Quelle est la probabilité d'obtenir un $6$ ?
Il obtient un $6$ . Quelle est la probabilité qu'il ait utilisé le dé truqué ?
Il relance le même dé et obtient encore un $6$ . Quelle est alors la probabilité qu'il s'agisse du dé truqué ?

Corrigé

Notons $E$ « le dé équilibré est choisi » et $T$ « le dé truqué est choisi » : $P (E) = P (T) = \frac{1}{2}$ .

1. Probabilités totales, avec $P_{E} (6) = \frac{1}{6}$ et $P_{T} (6) = \frac{1}{2}$ :

$P (6) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12} + \frac{3}{12} = \frac{1}{3} .$

2. $P_{6} (T) = \frac{P ( T \cap 6 )}{P ( 6 )} = \frac{1/4}{1/3} = \frac{3}{4}$ .

3. Notons $S$ « deux $6$ de suite ». Par indépendance des lancers d'un même dé :

$P (S) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{6})^{2} + \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{72} + \frac{9}{72} = \frac{10}{72} = \frac{5}{36},$

puis

$P_{S} (T) = \frac{1/8}{5/36} = \frac{36}{40} = \frac{9}{10} .$

Contrôle : la probabilité passe de $\frac{1}{2}$ (avant tout lancer) à $\frac{3}{4}$ puis $\frac{9}{10}$ : chaque $6$ observé renforce le soupçon, exactement comme l'intuition le suggère.