Un système de sécurité comporte deux alarmes indépendantes, fiables…

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 10 — Probabilités conditionnelles et indépendance · Indépendance et simulation

Énoncé

Un système de sécurité comporte deux alarmes indépendantes, fiables respectivement à $95 %$ et $90 %$ (probabilité de se déclencher en cas d'intrusion). En cas d'intrusion, calculer la probabilité qu'au moins une alarme se déclenche. Combien d'alarmes identiques à $90 %$ faudrait-il pour dépasser une fiabilité globale de $99, 9 %$ ?

Corrigé

Deux alarmes. Elles sont indépendantes, donc « aucune ne se déclenche » a pour probabilité $0, 05 \times 0, 10 = 0, 005$ . D'où $P (au moins une) = 1 - 0, 005 = 0, 995$ .

Combien d'alarmes à $90 %$ ? Avec $n$ alarmes indépendantes, la fiabilité vaut $1 - 0, 1^{n}$ . On veut la dépasser $99, 9 %$ :

$1 - 0, 1^{n} > 0, 999 ⟺ 0, 1^{n} < 0, 001.$

Or $0, 1^{3} = 0, 001$ : avec trois alarmes on atteint $99, 9 %$ exactement, sans le dépasser. Il en faut donc quatre : $0, 1^{4} = 0, 0001$ et la fiabilité vaut $99, 99 %$ .

Contrôle : l'inégalité est stricte, c'est elle qui écarte $n = 3$ . Un énoncé demandant « au moins $99, 9 %$ » aurait, lui, pour réponse $n = 3$ .

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