Un système de sécurité comporte deux alarmes indépendantes, fiables…

Deux alarmes. Elles sont indépendantes, donc « aucune ne se déclenche » a pour probabilité $0,05\times 0,10=0,005$. D'où $P(\text{au moins une})=1-0,005=0,995$.

Combien d'alarmes à $90\%$ ? Avec $n$ alarmes indépendantes, la fiabilité vaut $1-0,1^n$. On veut la dépasser $99,9\%$ :

$$1-0,1^n>0,999⟺0,1^n<0,001.$$

Or $0,1^3=0,001$ : avec trois alarmes on atteint $99,9\%$ exactement, sans le dépasser. Il en faut donc quatre : $0,1^4=0,0001$ et la fiabilité vaut $99,99\%$.

Contrôle : l'inégalité est stricte, c'est elle qui écarte $n=3$. Un énoncé demandant « au moins $99,9\%$ » aurait, lui, pour réponse $n=3$.