Une chaîne à deux états (chaînes de Markov, hors programme)

Une chaîne à deux états (chaînes de Markov, hors programme). Un individu se déplace chaque jour entre deux villes $A$ et $B$ : s'il est en $A$, il y reste le lendemain avec probabilité $0,8$ ; s'il est en $B$, il va en $A$ avec probabilité $0,3$. Le premier jour il est en $A$. On note $a_n$ la probabilité qu'il soit en $A$ le jour $n$.

• Montrer que $a_{n+1}=0,5a_n+0,3$, et calculer $a_1$, $a_2$, $a_3$.
• Montrer que la suite de terme général $a_n-0,6$ est géométrique de raison $0,5$, puis en déduire l'expression de $a_n$ et sa limite.

(Question 1 : les probabilités totales sur la position du jour $n$.)