Une chaîne à deux états (chaînes de Markov, hors programme)

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 10 — Probabilités conditionnelles et indépendance · Vers la terminale : répétitions et chaînes

Énoncé

Une chaîne à deux états (chaînes de Markov, hors programme). Un individu se déplace chaque jour entre deux villes $A$ et $B$ : s'il est en $A$ , il y reste le lendemain avec probabilité $0, 8$ ; s'il est en $B$ , il va en $A$ avec probabilité $0, 3$ . Le premier jour il est en $A$ . On note $a_{n}$ la probabilité qu'il soit en $A$ le jour $n$ .

Montrer que $a_{n + 1} = 0, 5 a_{n} + 0, 3$ , et calculer $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ .
Montrer que la suite de terme général $a_{n} - 0, 6$ est géométrique de raison $0, 5$ , puis en déduire l'expression de $a_{n}$ et sa limite.

(Question 1 : les probabilités totales sur la position du jour $n$ .)

Corrigé

1. La relation de récurrence. Le jour $n$ , l'individu est en $A$ (probabilité $a_{n}$ ) ou en $B$ (probabilité $1 - a_{n}$ ) : c'est une partition de l'univers. Le jour suivant, il est en $A$ soit en y restant, soit en venant de $B$ . Probabilités totales :

$a_{n + 1} = a_{n} \times 0, 8 + (1 - a_{n}) \times 0, 3 = 0, 8 a_{n} + 0, 3 - 0, 3 a_{n} = 0, 5 a_{n} + 0, 3.$

Comme il est en $A$ le premier jour, $a_{1} = 1$ , puis

$a_{2} = 0, 5 \times 1 + 0, 3 = 0, 8, a_{3} = 0, 5 \times 0, 8 + 0, 3 = 0, 7 (et a_{4} = 0, 65) .$

2. La suite auxiliaire. Posons $u_{n} = a_{n} - 0, 6$ . Alors

$u_{n + 1} = a_{n + 1} - 0, 6 = 0, 5 a_{n} + 0, 3 - 0, 6 = 0, 5 a_{n} - 0, 3 = 0, 5 (a_{n} - 0, 6) = 0, 5 u_{n} .$

La suite $(u_{n})$ est donc géométrique de raison $0, 5$ , de premier terme $u_{1} = 1 - 0, 6 = 0, 4$ . D'où (chapitre 2)

$u_{n} = 0, 4 \times 0, 5^{n - 1}, puis a_{n} = 0, 6 + 0, 4 \times 0, 5^{n - 1} .$

Comme $0 < 0, 5 < 1$ , $0, 5^{n - 1}$ tend vers $0$ et

$n \to + \infty lim a_{n} = 0, 6.$

Contrôle : $a_{1} = 0, 6 + 0, 4 = 1$ ✓, $a_{2} = 0, 6 + 0, 2 = 0, 8$ ✓, $a_{3} = 0, 6 + 0, 1 = 0, 7$ ✓.

Interprétation. À long terme, l'individu passe $60 %$ de ses journées en $A$ et $40 %$ en $B$ , quelle que soit sa ville de départ : la valeur $0, 6$ est l'état stationnaire de la chaîne, l'unique solution de $x = 0, 5 x + 0, 3$ . C'est elle que l'on retranche pour faire apparaître la suite géométrique — d'où le $0, 6$ tombé du ciel dans l'énoncé.

Prolongement : on appelle une telle situation une chaîne de Markov à deux états. Le même modèle décrit la météo d'un jour sur l'autre, la fidélité à une marque, ou le classement des pages web par les moteurs de recherche.

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