Une famille a deux enfants

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 10 — Probabilités conditionnelles et indépendance · Arbres pondérés et probabilités totales

Énoncé

Une famille a deux enfants. On admet que chaque enfant est une fille ou un garçon avec la probabilité $\frac{1}{2}$ , indépendamment de l'autre.

Décrire l'univers et calculer la probabilité que les deux enfants soient des filles.
Sachant que l'aîné est une fille, quelle est cette probabilité ?
Sachant qu'au moins un des deux est une fille, quelle est cette probabilité ?
Expliquer pourquoi les réponses aux questions 2 et 3 diffèrent.

Corrigé

1. L'univers est $Ω = {F F, F G, GF, GG}$ (aîné puis cadet), de quatre issues équiprobables : $P (F F) = \frac{1}{4}$ .

2. L'événement « l'aîné est une fille » est ${F F, F G}$ , de probabilité $\frac{1}{2}$ ; son intersection avec ${F F}$ est ${F F}$ :

$P_{{F F, F G}} (F F) = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2} .$

3. L'événement « au moins une fille » est ${F F, F G, GF}$ , de probabilité $\frac{3}{4}$ :

$P_{{F F, F G, GF}} (F F) = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3} .$

4. Les deux informations ne restreignent pas l'univers de la même façon : la première élimine deux issues ( $GF$ et $GG$ ), la seconde une seule ( $GG$ ). Conditionner, c'est changer d'univers — et l'univers obtenu dépend de l'information reçue, pas seulement du nombre de filles annoncé.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.