Une machine tombe en panne un jour donné avec une probabilité qui…

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 10 — Probabilités conditionnelles et indépendance · Arbres et probabilités totales

Énoncé

Une machine tombe en panne un jour donné avec une probabilité qui dépend de la veille : si elle a fonctionné la veille, elle tombe en panne avec probabilité $0, 05$ ; si elle est tombée en panne la veille, elle retombe en panne avec probabilité $0, 3$ . Lundi, elle fonctionne. Calculer la probabilité qu'elle fonctionne le mercredi. (Un arbre à deux niveaux, puis la formule des probabilités totales sur l'état du mardi.)

Corrigé

Notons $F_{n}$ : « la machine fonctionne le jour $n$ ». On connaît $P_{F} (F le lendemain) = 0, 05$ et $P_{F} (F le lendemain) = 0, 30$ , donc les probabilités de fonctionner le lendemain sont $0, 95$ et $0, 70$ .

Mardi. La machine fonctionne le lundi, donc $P (F_{mar}) = 0, 95$ et $P (F_{mar}) = 0, 05$ .

Mercredi. On applique la formule des probabilités totales à la partition ${F_{mar}, F_{mar}}$ :

$P (F_{mer}) = 0, 95 \times 0, 95 + 0, 05 \times 0, 70 = 0, 9025 + 0, 0350 = 0, 9375.$

Soit $\frac{15}{16}$ , environ $93, 8 %$ .

Contrôle : par l'événement contraire, $P (F_{mer}) = 0, 95 \times 0, 05 + 0, 05 \times 0, 30 = 0, 0475 + 0, 0150 = 0, 0625$ , et $0, 9375 + 0, 0625 = 1$ ✓.

Piège : on ne peut pas se contenter du chemin « fonctionne mardi, fonctionne mercredi » ( $0, 9025$ ) : la machine peut tomber en panne mardi et repartir mercredi. Ce second chemin, qui pèse $0, 035$ , fait partie de la réponse.

Prolongement : l'état du jour $n + 1$ ne dépend que de celui du jour $n$ — c'est une chaîne à deux états, reprise en détail dans les exercices supplémentaires.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.