Une urne contient boules rouges et boules noires

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 10 — Probabilités conditionnelles et indépendance · Arbres et probabilités totales

Énoncé

Une urne contient $5$ boules rouges et $3$ boules noires. On tire successivement deux boules sans remise.

Construire l'arbre pondéré.
Calculer la probabilité d'obtenir deux boules de la même couleur.
Calculer la probabilité que la seconde boule soit rouge, et comparer à la probabilité que la première le soit.

Corrigé

1. L'arbre. Premier niveau : $P (R_{1}) = \frac{5}{8}$ , $P (N_{1}) = \frac{3}{8}$ . Second niveau, conditionnel : il ne reste que $7$ boules, et une de moins dans la couleur déjà tirée.

2. Deux boules de la même couleur. Deux chemins, donc une somme de produits :

$P = \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} + \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{20}{56} + \frac{6}{56} = \frac{26}{56} = \frac{13}{28} \approx 0, 464.$

3. La seconde boule est rouge. Deux chemins y aboutissent :

$P (R_{2}) = \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} + \frac{3}{8} \times \frac{5}{7} = \frac{20}{56} + \frac{15}{56} = \frac{35}{56} = \frac{5}{8} = P (R_{1}) .$

La probabilité que la seconde boule soit rouge est la même que pour la première ! Ce n'est pas un hasard : avant tout tirage, les huit boules jouent des rôles interchangeables, et rien ne distingue le rang $1$ du rang $2$ . Autrement dit : tirer deux boules l'une après l'autre ou les deux à la fois donne la même chose.

Contrôle : les quatre chemins pèsent $\frac{20}{56}$ , $\frac{15}{56}$ , $\frac{15}{56}$ et $\frac{6}{56}$ , de somme $\frac{56}{56} = 1$ ✓.

Piège : $P (R_{2}) = P (R_{1})$ ne signifie pas que $R_{1}$ et $R_{2}$ sont indépendants : $P_{R_{1}} (R_{2}) = \frac{4}{7} \neq = \frac{5}{8}$ . Savoir ce qu'a donné le premier tirage change bel et bien le second.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.