Écrire une fonction Python qui simule N lancers d'un dé équilibré et…

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 11 — Variables aléatoires réelles · Dispersion et échantillonnage

Énoncé

Écrire une fonction Python qui simule $N$ lancers d'un dé équilibré et renvoie la moyenne des résultats. Vérifier expérimentalement qu'elle se rapproche de $E (X) = 3, 5$ quand $N$ grandit. Puis, pour $N = 100$ , estimer la proportion des simulations dont la moyenne s'écarte de $3, 5$ de plus de $\frac{2 σ}{N}$ , où $σ = \frac{35}{12} \approx 1, 71$ . (La proportion attendue est d'environ $5 %$ : c'est le complémentaire de la propriété admise dans le cours. Commencer par retrouver $V (X) = \frac{35}{12}$ .)

Corrigé

Retrouvons d'abord $V (X)$ . Pour un dé équilibré,

$E (X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3, 5, E (X^{2}) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6},$

$V (X) = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^{2} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12} \approx 2, 917, σ = \frac{35}{12} \approx 1, 71.$

Le programme.


from random import randint

def moyenne_des(N):
    # Moyenne de N lancers d'un de equilibre
    total = 0
    for k in range(N):
        total = total + randint(1, 6)
    return total / N

def proportion_hors_bande(N_simul, n):
    # Proportion des N_simul echantillons de taille n dont la moyenne
    # s'ecarte de 3.5 de plus de 2*sigma/racine(n)
    sigma = (35 / 12) ** 0.5
    seuil = 2 * sigma / n ** 0.5
    hors = 0
    for k in range(N_simul):
        if abs(moyenne_des(n) - 3.5) > seuil:
            hors = hors + 1
    return hors / N_simul

print(moyenne_des(10), moyenne_des(1000), moyenne_des(1000000))
print(proportion_hors_bande(10000, 100))

Ce qu'on observe. La première ligne affiche typiquement quelque chose comme $3, 9$ — $3, 52$ — $3, 5003$ : la moyenne se rapproche de $E (X) = 3, 5$ quand $N$ grandit, sans jamais l'atteindre exactement.

Pour $n = 100$ , le seuil vaut $\frac{2 \times 1 , 71}{10} \approx 0, 342$ , et la seconde ligne affiche une valeur voisine de $0, 04$ à $0, 05$ : environ $4$ à $5 %$ des échantillons sortent de la bande, donc $95$ à $96 %$ y restent — ce qu'annonçait le « fait d'expérience » du cours.

Honnêteté sur le nombre $95 %$ : c'est un ordre de grandeur, pas une égalité. La proportion exacte dépend de la loi de $X$ et de $n$ ; ici elle avoisine $4, 5 %$ hors bande. C'est d'ailleurs pourquoi le cours parle d'« environ $95 %$ » et de « fait d'expérience » : la justification complète relève du théorème central limite, en études supérieures.

Piège de programmation : proportion_hors_bande(10000, 100) lance $10000 \times 100 = 1 0^{6}$ dés. Commencer par des valeurs plus petites pour vérifier que le code tourne, avant de le lancer « en grand ».

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