mathématiques (première) · Chapitre 11 · Exercice supplémentaire

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev (hors programme)

Variables aléatoires réelles · Concentration, grands nombres et échantillonnage · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev (hors programme). Soit $X$ d'espérance $μ$ et d'écart type $σ$ , et soit $a > 0$ .

Justifier que, dans la somme $V (X) = \sum_{i} p_{i} (x_{i} - μ)^{2}$ , ne garder que les termes pour lesquels $∣ x_{i} - μ ∣ \geq a$ donne une somme plus petite, elle-même supérieure ou égale à $a^{2} P (∣ X - μ ∣ \geq a)$ .
En déduire l'inégalité $P (∣ X - μ ∣ \geq a) \leq \frac{σ ^{2}}{a ^{2}}$ .
Que donne-t-elle pour $a = 2 σ$ ?

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