Inégalité de Bienaymé-Tchebychev (hors programme)

1. Un tri dans la somme. Par définition, $V(X)={\sum }_i{p}_i(x_i-\mu {)}^2$, où tous les termes sont positifs ou nuls. Notons $J$ l'ensemble des indices $i$ tels que $|x_i-\mu |\ge a$. Supprimer des termes positifs ne peut que diminuer une somme :

$$\sum _{i\in J}{p}_i(x_i-\mu {)}^2\le \sum _i{p}_i(x_i-\mu {)}^2=V(X).$$

Par ailleurs, pour chaque $i\in J$ on a $(x_i-\mu {)}^2\ge a^2$ par définition de $J$, donc en minorant chaque terme :

$$\sum _{i\in J}{p}_i(x_i-\mu {)}^2\ge \sum _{i\in J}{p}_i{a}^2=a^2\sum _{i\in J}{p}_i=a^{2}P(|X-\mu |\ge a),$$

la dernière égalité parce que ${\sum }_{i\in J}{p}_i$ est exactement la probabilité que $X$ prenne une valeur à distance au moins $a$ de $\mu$.

2. L'inégalité. En enchaînant les deux encadrements :

$$a^{2}P(|X-\mu |\ge a)\le V(X)={\sigma }^2,$$

et comme $a>0$, on peut diviser par $a^2$ :

$$\boxed{P(|X-\mu |\ge a)\le \frac{{\sigma }^2}{a^2}.}\square$$

3. Le cas $a=2\sigma$.

$$P(|X-\mu |\ge 2\sigma )\le \frac{{\sigma }^2}{4{\sigma }^2}=\frac{1}{4}.$$

Autrement dit : au moins $75\%$ des valeurs d'une variable aléatoire, quelle qu'elle soit, se trouvent à moins de deux écarts types de son espérance.

Ce que l'inégalité a de remarquable : elle ne suppose rien sur la loi de $X$ — ni sa forme, ni son nombre de valeurs. C'est ce qui fait à la fois sa force et sa faiblesse : universelle, elle est nécessairement grossière. Pour une loi normale, la vraie proportion hors bande est de $5\%$, non de $25\%$.

Contrôle sur un cas où la borne est atteinte : si $X$ vaut $-1$, $0$ et $1$ avec les probabilités $\frac{1}{8}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{1}{8}$, alors $\mu =0$, $V(X)=\frac{1}{4}$, $\sigma =\frac{1}{2}$ et $P(|X|\ge 2\sigma )=P(|X|\ge 1)=\frac{1}{4}$ : l'inégalité est ici une égalité. On ne peut donc pas l'améliorer en général. ✓