Intervalle de confiance (terminale)

1. L'intervalle de confiance. La fréquence observée vaut $f=\frac{540}{1000}=0,54$, et

$$\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{1000}}\approx 0,0316.$$

L'encadrement $|f-p|\le \frac{1}{\sqrt{n}}$ équivaut à $f-\frac{1}{\sqrt{n}}\le p\le f+\frac{1}{\sqrt{n}}$, d'où

$$p\in \left[0,508;0,572\right]\text{(au niveau de confiance }95\%).$$

2. Peut-on conclure que $p>0,5$ ? L'intervalle est entièrement situé au-dessus de $0,5$ (sa borne inférieure vaut $0,508$) : on peut l'affirmer, mais avec deux réserves.

• Le niveau de confiance est de $95\%$ : la méthode se trompe environ une fois sur vingt. Affirmer $p>0,5$, c'est prendre ce risque-là — et non énoncer une certitude.
• Tout repose sur l'hypothèse d'un échantillon réellement aléatoire et de réponses sincères. Un biais de recrutement ou de déclaration ne se corrige par aucune formule : il déplace l'intervalle sans l'élargir, ce qui est bien plus dangereux qu'une imprécision.

Notons enfin que la marge est ici de $3,2$ points pour un écart au seuil de $4$ points seulement : la conclusion tient, mais de peu.

3. Amplitude de $2$ points. L'amplitude de l'intervalle vaut $\frac{2}{\sqrt{n}}$ ; on veut $0,02$ :

$$\frac{2}{\sqrt{n}}=0,02⟺\sqrt{n}=100⟺n=10000.$$

Contrôle : pour $n=10000$, $\frac{1}{\sqrt{n}}=0,01$, soit un intervalle $\left[f-0,01;f+0,01\right]$, d'amplitude $0,02$ — deux points. ✓

À retenir : passer de $1000$ à $10000$ personnes, soit dix fois plus, ne divise la marge que par $\sqrt{10}\approx 3,16$. C'est pourquoi les instituts s'arrêtent presque toujours autour de $1000$ interrogés.