mathématiques (première) · Chapitre 11 · Exercice supplémentaire

Intervalle de confiance (terminale)

Variables aléatoires réelles · Concentration, grands nombres et échantillonnage · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Intervalle de confiance (terminale). Sur un échantillon de $n = 1000$ personnes, $540$ déclarent une intention de vote favorable. On admet que la fréquence observée $f$ vérifie, dans environ $95 %$ des cas, $∣ f - p ∣ \leq \frac{1}{n}$ , où $p$ désigne la proportion inconnue dans la population.

Donner un intervalle de confiance de $p$ au niveau $95 %$ .
Peut-on affirmer que $p > 0, 5$ ? À quelles réserves ?
Quelle taille d'échantillon donnerait un intervalle d'amplitude $2$ points ?

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1. Donner un intervalle de confiance de $p$ au niveau $95 %$ .

Élève

Je vois la formule avec $∣ f - p ∣$ mais je ne sais pas quoi mettre à la place de $f$ . C'est quoi exactement, $f$ ?

$f$ est la fréquence observée dans l'échantillon, c'est-à-dire la proportion de personnes favorables parmi celles qu'on a interrogées. Quelles données de l'énoncé te permettent de la calculer ?

Élève

Il y a $540$ favorables sur $1000$ personnes, donc je peux faire $540/1 000$ . Mais ensuite, avec la valeur absolue, je ne vois pas comment sortir $p$ .

Bonne piste pour $f$ . Pour la valeur absolue, pense à ce que signifie $∣ f - p ∣ \leq a$ sur une droite graduée : c'est un écart maximal entre $f$ et $p$ . Peux-tu traduire cela en un encadrement de $p$ autour de $f$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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