L'espérance d'une somme (hors programme)

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 11 — Variables aléatoires réelles · La loi binomiale (terminale)

Énoncé

L'espérance d'une somme (hors programme). On répète $n$ épreuves indépendantes de probabilité de succès $p$ , et l'on note $X_{i}$ la variable valant $1$ si la $i$ <sup>e</sup> épreuve est un succès, $0$ sinon, de sorte que $X = X_{1} + \dots + X_{n}$ compte les succès. Calculer $E (X_{i})$ , puis, en admettant que $E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ , démontrer que $E (X) = n p$ .

Corrigé

Loi et espérance de $X_{i}$ . La variable $X_{i}$ ne prend que deux valeurs :

$valeur probabilit e ˊ 0 1 - p 1 p d’o u ˋ E (X_{i}) = 0 \times (1 - p) + 1 \times p = p .$

(Une telle variable, qui vaut $1$ en cas de succès et $0$ sinon, s'appelle une variable indicatrice, ou variable de Bernoulli. Son espérance est la probabilité même du succès : c'est ce qui rend le raisonnement si économique.)

Espérance de $X$ . Chaque épreuve apporte $1$ à $X$ si elle réussit, $0$ sinon : $X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}$ compte bien les succès. En admettant $E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ et en itérant sur les $n$ termes :

$E (X) = E (X_{1}) + E (X_{2}) + \dots + E (X_{n}) = n termes p + p + \dots + p = n p . □$

Pourquoi cette démonstration est remarquable. Le calcul direct exigerait de sommer

$k \sum k (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k},$

une somme délicate. Ici, tout est réglé en deux lignes, et sans jamais écrire la loi de $X$ . Mieux : l'additivité de l'espérance ne suppose aucune indépendance entre les $X_{i}$ ; le résultat vaudrait même pour des épreuves liées entre elles.

Contrôle : pour $n = 5$ et $p = 0, 4$ , on retrouve $E (X) = 2$ , la valeur de l'exercice précédent. ✓

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