La variance d'une somme (hors programme)

Variance de $X_i$. Puisque $X_i$ ne prend que les valeurs $0$ et $1$, on a $X_i^2=X_i$ (car $0^2=0$ et $1^2=1$), donc $E(X_i^2)=E(X_i)=p$. La formule de König-Huygens donne alors

$$V(X_i)=E(X_i^2)-E(X_i{)}^2=p-p^2=p(1-p).$$

Contrôle par la définition : $(1-p)(0-p{)}^2+p(1-p{)}^2=p^2(1-p)+p(1-p{)}^2=p(1-p)[p+(1-p)]=p(1-p)$. ✓

Variance de $X$. Les $n$ épreuves étant indépendantes, les variables $X_i$ le sont aussi ; en admettant l'additivité de la variance pour des variables indépendantes et en l'itérant :

$$V(X)=V(X_1)+\cdots +V(X_n)=\underset{n\text{ termes}}{\underbrace{p(1-p)+\cdots +p(1-p)}}=np(1-p).\square$$

Contrôle : pour $n=5$ et $p=0,4$, $V(X)=5\times 0,24=1,2$ — la valeur admise à l'exercice précédent. ✓

Attention, cette fois l'hypothèse compte. L'additivité de l'espérance est toujours vraie ; celle de la variance exige l'indépendance. Le contre-exemple est immédiat : avec $Y=X$, $V(X+X)=V(2X)=4V(X)\ne 2V(X)$ dès que $V(X)\ne 0$.

Un dernier coup d'œil à la formule. $p\mapsto p(1-p)$ est un trinôme du second degré (chapitre 3), maximal en $p=\frac{1}{2}$ : c'est pour une épreuve parfaitement équilibrée que le résultat est le plus imprévisible, et la dispersion s'annule aux deux extrémités $p=0$ et $p=1$, où il n'y a plus de hasard du tout.