Le paradoxe de Saint-Pétersbourg (Nicolas Bernoulli, 1713)

1. Probabilité du premier « pile » au $n$^e lancer. Il faut $n-1$ « face » puis un « pile », et les lancers sont indépendants :

$$P(N=n)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2^n}.$$

Contrôle : $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots =1$ — le « pile » finit par arriver, avec la probabilité $1$.

2. Contribution de chaque valeur. Le gain associé à $N=n$ vaut $2^n$ euros, donc sa contribution à l'espérance est

$$2^n\times P(N=n)=2^n\times \frac{1}{2^n}=1\text{euro},$$

et cela pour toute valeur de $n$. La somme des $n$ premières contributions vaut donc $1+1+\cdots +1=n$.

3. L'« espérance ». Comme $n$ tend vers $+\infty$, la somme des contributions ne s'approche d'aucun nombre : elle croît sans limite. L'espérance de ce jeu est infinie — plus rigoureusement, elle n'existe pas. Le critère de l'espérance conseillerait donc d'accepter n'importe quelle mise, si élevée soit-elle.

Et pourtant, personne ne mise gros. Les raisons sont solides.

• La partie a beau rapporter en moyenne l'infini, elle rapporte $2$ € une fois sur deux, et au plus $16$ € dans $\frac{15}{16}$ des cas. La probabilité de dépasser une mise de $1000$ € est inférieure à $\frac{1}{500}$.
• Aucun organisateur ne peut honorer des gains illimités : si le gain est plafonné à $2^{30}$ € (environ un milliard), l'espérance retombe à $31$ €.
• Daniel Bernoulli répondit en $1738$ que ce n'est pas l'argent que l'on cherche à maximiser, mais son utilité, qui croît beaucoup plus lentement que la somme gagnée. C'est l'acte de naissance de la théorie de l'utilité en économie.

La leçon mathématique : l'espérance résume une loi par un seul nombre, et ce résumé peut être trompeur — il l'était déjà, plus modestement, dans l'exercice comparant deux jeux de même espérance et d'écarts types très différents.