mathématiques (première) · Chapitre 11 · Exercice supplémentaire

Le paradoxe de Saint-Pétersbourg (Nicolas Bernoulli, 1713)

Variables aléatoires réelles · Prolongements · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Le paradoxe de Saint-Pétersbourg (Nicolas Bernoulli, 1713). On lance une pièce équilibrée jusqu'au premier « pile » ; s'il survient au $n$ ^e lancer, on gagne $2^{n}$ euros.

Calculer la probabilité que le premier « pile » survienne au $n$ ^e lancer.
Montrer que la contribution de chaque valeur à l'espérance vaut $1$ euro, et que la somme des $n$ premières contributions vaut $n$ .
Que vaut « l'espérance » de ce jeu ? Quelle mise accepteriez-vous ?

Pour démarrer : comment l'IA t'aide

1. Calculer la probabilité que le premier « pile » survienne au $n$ ^e lancer.

Élève

Pour la question 1, je ne vois pas trop quoi calculer : on me demande la probabilité d'un événement, mais lequel exactement ?

Relis l'énoncé : l'expérience s'arrête au premier « pile ». Note $N$ le numéro du lancer où ce premier « pile » apparaît. Que signifie précisément l'événement $N = n$ pour les lancers précédents ?

Élève

Ça veut dire qu'on a fait « face » aux lancers $1$ à $n - 1$ , puis « pile » au lancer $n$ . Mais après, comment combiner ces lancers ?

Tu as bien décrit la situation. La pièce est équilibrée et les lancers se succèdent sans que le passé influence la suite : quelle notion du cours permet alors de multiplier les probabilités de ces lancers ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

Continue cet exercice avec l'IA

Reprends la question 1 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

Continuer avec l'IA — gratuit, sans inscription

Gratuit, sans inscription. L'IA te guide pas à pas, sans te donner la réponse.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Continuer avec l'IA, gratuit →