Loi binomiale. On répète 5 fois, de façon indépendante, une épreuve de…

1. Les deux valeurs extrêmes. Un seul chemin de l'arbre mène à chacune :

$$P(X=0)=0,6^5=0,07776,P(X=5)=0,4^5=0,01024.$$

2. La forme générale. Un chemin menant à $k$ succès emprunte exactement $k$ branches « succès » (poids $0,4$) et $5-k$ branches « échec » (poids $0,6$) : par la règle du produit, il pèse $0,4^k\times 0,6^{5-k}$, quel que soit l'ordre des succès. Par la règle de la somme, $P(X=k)$ vaut ce poids multiplié par le nombre de chemins concernés, c'est-à-dire le nombre de façons de choisir les $k$ étapes gagnantes parmi $5$ : $1,5,10,10,5,1$.

$$P(X=2)=10\times 0,4^2\times 0,6^3=10\times 0,16\times 0,216=0,3456.$$

$$\begin{array}{ccccccc}k& 0& 1& 2& 3& 4& 5\\ P(X=k)& 0,07776& 0,2592& 0,3456& 0,2304& 0,0768& 0,01024\end{array}$$

Contrôle : la somme de ces six nombres vaut $1$ exactement. ✓

3. Espérance et écart type.

$$E(X)=np=5\times 0,4=2,V(X)=np(1-p)=5\times 0,4\times 0,6=1,2,$$

$$\sigma (X)=\sqrt{1,2}\approx 1,10.$$

Contrôle de $E(X)$ sur la loi : $0\times 0,07776+1\times 0,2592+2\times 0,3456+3\times 0,2304+4\times 0,0768+5\times 0,01024=2$. ✓

Prolongement : cette loi s'appelle la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,4$, notée $\mathcal{B}(5;0,4)$. Les nombres de chemins sont les coefficients binomiaux $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{k}\right)$, et les deux formules admises ici sont démontrées dans les deux exercices qui suivent.