Loi des grands nombres

1. Application à la moyenne d'échantillon. La variable $M_n$ a pour espérance $\mu$ et pour variance $\frac{{\sigma }^2}{n}$. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, appliquée à $M_n$, s'écrit donc

$$P(|M_n-\mu |\ge a)\le \frac{V(M_n)}{a^2}=\frac{{\sigma }^2}{n{a}^2}.$$

Pour $a>0$ et $\sigma$ fixés, le second membre est de la forme $\frac{C}{n}$ avec $C=\frac{{\sigma }^2}{a^2}$ constante : il tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$. Par conséquent

$$P(|M_n-\mu |\ge a)\underset{n\to +\infty }{\to }0.$$

C'est la loi (faible) des grands nombres : si petit que soit l'écart toléré $a$, la probabilité que la moyenne observée s'en écarte devient négligeable dès que l'échantillon est assez grand. Elle justifie enfin, par une démonstration, ce que les simulations du chapitre montraient.

2. Le cas $a=\frac{2\sigma }{\sqrt{n}}$.

$$P\left(|M_n-\mu |\ge \frac{2\sigma }{\sqrt{n}}\right)\le \frac{{\sigma }^2}{n}\times \frac{n}{4{\sigma }^2}=\frac{1}{4}.$$

L'inégalité garantit donc qu'au moins $75\%$ des échantillons ont leur moyenne dans la bande $\mu \pm \frac{2\sigma }{\sqrt{n}}$ — alors que le cours annonçait environ $95\%$.

Commentaire : les deux énoncés ne se contredisent pas. $75\%$ est une garantie démontrée et universelle, valable pour n'importe quelle loi ; $95\%$ est une observation, très fidèle en pratique mais qui suppose $n$ assez grand pour que la moyenne se comporte « en cloche ». La borne de Tchebychev est vraie partout et lâche partout ; le $95\%$ est serré, mais il relève du théorème central limite, hors de portée en première.

Ordre de grandeur : avec $\sigma =3$ et $a=0,2$, la majoration $\frac{9}{0,04n}$ ne descend sous $0,05$ qu'à partir de $n\ge 4500$ — bien plus que les $900$ de l'exercice d'entraînement. Voilà le prix de l'universalité.