n° 106

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 11 — Variables aléatoires réelles · Espérance et gains

Énoncé

$X$ a pour espérance $5$ et pour écart type $2$ . Déterminer l'espérance et l'écart type de $Y = - 3 X + 1$ , puis de $Z = \frac{X - 5}{2}$ . Que remarque-t-on pour $Z$ ? (On admettra $σ (a X + b) = ∣ a ∣ σ (X)$ .)

Corrigé

Pour $Y = - 3 X + 1$ . La linéarité de l'espérance et la règle admise sur l'écart type donnent

$E (Y) = - 3 E (X) + 1 = - 15 + 1 = - 14, σ (Y) = ∣ - 3∣ \times σ (X) = 3 \times 2 = 6.$

Pour $Z = \frac{X - 5}{2}$ . On l'écrit sous forme affine : $Z = \frac{1}{2} X - \frac{5}{2}$ , d'où

$E (Z) = \frac{1}{2} \times 5 - \frac{5}{2} = 0, σ (Z) = \frac{1}{2} \times 2 = 1.$

Ce qu'on remarque : $Z$ a une espérance nulle et un écart type égal à $1$ — on dit qu'elle est centrée réduite. L'opération est générale : pour toute variable $X$ d'espérance $μ$ et d'écart type $σ \neq = 0$ , la variable $\frac{X - μ}{σ}$ est centrée réduite. Elle exprime l'écart à la moyenne en nombre d'écarts types, ce qui rend comparables des grandeurs d'unités différentes (une note et une taille, par exemple).

Piège : l'écart type n'est jamais négatif — d'où la valeur absolue. Écrire $σ (Y) = - 6$ n'a aucun sens ; en revanche la variance, elle, est multipliée par $a^{2} = 9$ : $V (Y) = 9 \times 4 = 36 = 6^{2}$ . ✓

Prolongement : la réduction $\frac{X - μ}{σ}$ est l'opération qui, en terminale, ramène toute loi normale à la loi normale centrée réduite.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.