mathématiques (première) · Chapitre 11 · Exercice supplémentaire

n° 208

Variables aléatoires réelles · Prolongements · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Espérance d'un produit. $X$ et $Y$ sont les résultats de deux dés équilibrés lancés indépendamment.

Calculer $E (X)$ , $E (Y)$ et $V (X)$ .
Calculer $E (X Y)$ (par le tableau des $36$ produits, ou en admettant $E (X Y) = E (X) E (Y)$ pour des variables indépendantes).
À l'aide de la loi de la somme $S = X + Y$ donnée dans le cours, vérifier que $E (S) = E (X) + E (Y)$ et $V (S) = V (X) + V (Y)$ .

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1. Calculer $E (X)$ , $E (Y)$ et $V (X)$ .

Élève

Pour $E (X)$ , je pensais faire la moyenne des six faces, donc $(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) /6$ . Mais pour $V (X)$ , je ne sais pas quelle formule utiliser.

La moyenne des faces pondérée par les probabilités, c'est bien la définition de l'espérance pour une loi finie : chaque face a la même probabilité. Pour la variance, deux formules du cours sont possibles : celle avec les écarts à la moyenne, ou celle qui utilise $E (X^{2})$ . Laquelle te semble la plus rapide à calculer ici ?

Élève

Celle avec $E (X^{2})$ sans doute, mais je ne vois pas comment calculer $E (X^{2})$ .

C'est la même démarche que pour $E (X)$ , mais au lieu de pondérer les faces $1, 2, \dots, 6$ , tu pondères leurs carrés. Que vaut alors la somme $1^{2} + 2^{2} + \dots + 6^{2}$ , et que devient $E (X^{2})$ en divisant par $6$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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