n° 208

1. Espérance et variance d'un dé. Les deux dés ont la même loi uniforme, donc

$$E(X)=E(Y)=3,5,E(X^2)=\frac{91}{6},V(X)=\frac{91}{6}-\frac{49}{4}=\frac{35}{12}\approx 2,917.$$

2. Espérance du produit. Les deux dés étant indépendants, chacun des $36$ couples a la probabilité $\frac{1}{36}$, et la somme des produits se factorise :

$$E(XY)=\sum _{i=1}^6\sum _{j=1}^6\frac{ij}{36}=\frac{1}{36}\left(\sum _{i=1}^{6}i\right)\left(\sum _{j=1}^{6}j\right)=\frac{21\times 21}{36}=\frac{441}{36}=12,25.$$

On retrouve bien $E(X)E(Y)=3,5\times 3,5=12,25$. ✓

3. Somme des deux dés. À partir de la loi de $S$ donnée dans le cours :

$$E(S)=\frac{2\times 1+3\times 2+\cdots +12\times 1}{36}=\frac{252}{36}=7=E(X)+E(Y).✓$$

$$E(S^2)=\frac{4\times 1+9\times 2+\cdots +144\times 1}{36}=\frac{1974}{36}=\frac{329}{6},$$

$$V(S)=E(S^2)-E(S{)}^2=\frac{329}{6}-49=\frac{329-294}{6}=\frac{35}{6}.$$

Or $V(X)+V(Y)=2\times \frac{35}{12}=\frac{35}{6}$ : l'égalité est vérifiée. ✓

Attention à la portée de chacune des deux propriétés. $E(S)=E(X)+E(Y)$ est vraie toujours ; $V(S)=V(X)+V(Y)$ n'est vraie que pour des variables indépendantes. Le contre-exemple tient en une ligne : avec $Y=X$ (le même dé lu deux fois), $S=2X$ donne $V(S)=4V(X)$, et non $2V(X)$.

Prolongement : de même, $E(XY)=E(X)E(Y)$ n'est vraie que sous indépendance. La différence $E(XY)-E(X)E(Y)$ porte un nom, la covariance ; elle mesure la liaison entre deux variables, et c'est elle qui apparaît dans le terme correctif de la variance d'une somme.