On lance deux dés équilibrés et l'on note D l'écart entre le plus…

Les $36$ couples $(i;j)$ sont équiprobables et $D=|i-j|$ prend les valeurs $0,1,2,3,4,5$. Pour $k\ge 1$, les couples réalisant $D=k$ sont les $(i;i+k)$ et les $(i+k;i)$ avec $1\le i\le 6-k$ : ils sont au nombre de $2(6-k)$. Pour $k=0$, ce sont les six couples $(i;i)$.

$$\begin{array}{ccccccc}d& 0& 1& 2& 3& 4& 5\\ P(D=d)& \frac{6}{36}& \frac{10}{36}& \frac{8}{36}& \frac{6}{36}& \frac{4}{36}& \frac{2}{36}\end{array}$$

Contrôle : $6+10+8+6+4+2=36$, donc la somme des probabilités vaut $\frac{36}{36}=1$. ✓

Erreur attendue : annoncer six valeurs équiprobables. La loi est très dissymétrique — un écart de $1$ est cinq fois plus probable qu'un écart de $5$, car il y a cinq fois plus de façons de l'obtenir.

Pour aller un peu plus loin : l'espérance vaut $E(D)=\frac{0\times 6+1\times 10+2\times 8+3\times 6+4\times 4+5\times 2}{36}=\frac{70}{36}=\frac{35}{18}\approx 1,94$ — l'écart typique entre deux dés est inférieur à $2$.