mathématiques (première) · Chapitre 11 · Exercice de TD

On lance deux dés équilibrés et l'on note X le plus grand des deux…

Variables aléatoires réelles · Déterminer une loi, calculer un gain · niveau 3 (difficile)

Énoncé

On lance deux dés équilibrés et l'on note $X$ le plus grand des deux résultats (leur valeur commune s'ils sont égaux).

Montrer que $P (X \leq k) = \frac{k ^{2}}{36}$ pour $k$ entier entre $1$ et $6$ .
En déduire la loi de $X$ , et contrôler que la somme des probabilités vaut $1$ .
Calculer $E (X)$ .

Corrigé de la question 1

1. L'événement ${X \leq k}$ signifie « les deux dés donnent au plus $k$ » : il compte $k \times k$ couples parmi les $36$ équiprobables, d'où $P (X \leq k) = \frac{k ^{2}}{36}$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

2. En déduire la loi de $X$ , et contrôler que la somme des probabilités vaut $1$ .

Élève

Pour la loi de $X$ , je pensais calculer $P (X = k)$ directement en comptant les couples. Mais ça me paraît long…

Tu as déjà une formule pour $P (X \leq k)$ à la question 1. Comment relier $P (X = k)$ à des probabilités du type $P (X \leq \dots)$ ? Pense à ce que signifie « $X \leq k$ » mais pas « $X \leq k - 1$ ».

Élève

Ah oui, ${X = k}$ c'est ${X \leq k}$ privé de ${X \leq k - 1}$ . Donc $P (X = k) = P (X \leq k) - P (X \leq k - 1)$ .

Exact. Applique-le avec la formule de la question 1 : que vaut $P (X \leq k - 1)$ ? Puis simplifie $k^{2} - (k - 1)^{2}$ . Que trouves-tu comme expression en fonction de $k$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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