On lance deux dés équilibrés et l'on note X le plus grand des deux…

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 11 — Variables aléatoires réelles · Déterminer une loi, calculer un gain

Énoncé

On lance deux dés équilibrés et l'on note $X$ le plus grand des deux résultats (leur valeur commune s'ils sont égaux).

Montrer que $P (X \leq k) = \frac{k ^{2}}{36}$ pour $k$ entier entre $1$ et $6$ .
En déduire la loi de $X$ , et contrôler que la somme des probabilités vaut $1$ .
Calculer $E (X)$ .

Corrigé

1. L'événement ${X \leq k}$ signifie « les deux dés donnent au plus $k$ » : il compte $k \times k$ couples parmi les $36$ équiprobables, d'où $P (X \leq k) = \frac{k ^{2}}{36}$ .

2. On passe à la loi par différence :

$P (X = k) = P (X \leq k) - P (X \leq k - 1) = \frac{k ^{2} - ( k - 1 ) ^{2}}{36} = \frac{2 k - 1}{36} .$

$k P (X = k) 1 \frac{1}{36} 2 \frac{3}{36} 3 \frac{5}{36} 4 \frac{7}{36} 5 \frac{9}{36} 6 \frac{11}{36}$

Somme : $\frac{1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11}{36} = \frac{36}{36} = 1$ . ✓

3. $E (X) = \frac{1 \times 1 + 2 \times 3 + 3 \times 5 + 4 \times 7 + 5 \times 9 + 6 \times 11}{36} = \frac{161}{36} \approx 4, 47.$

Contrôle : $E (X)$ dépasse nettement $3, 5$ , l'espérance d'un seul dé — prendre le plus grand de deux résultats tire la moyenne vers le haut, comme attendu.

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