Une loi géométrique tronquée (terminale)

Loi de $Y$. À chaque lancer, « $6$ » a la probabilité $\frac{1}{6}$ et « pas $6$ » la probabilité $\frac{5}{6}$, indépendamment des précédents.

• $Y=1$ : un $6$ dès le premier lancer, $P=\frac{1}{6}$ ;
• $Y=2$ : un échec puis un $6$, $P=\frac{5}{6}\times \frac{1}{6}=\frac{5}{36}$ ;
• $Y=3$ : deux échecs puis un $6$, $P={\left(\frac{5}{6}\right)}^2\times \frac{1}{6}=\frac{25}{216}$ ;
• $Y=4$ : trois échecs, un point c'est tout — on effectue alors le quatrième lancer, qu'il donne un $6$ ou non, et l'on s'arrête. D'où $P={\left(\frac{5}{6}\right)}^3=\frac{125}{216}$.

$$\begin{array}{ccccc}k& 1& 2& 3& 4\\ P(Y=k)& \frac{36}{216}& \frac{30}{216}& \frac{25}{216}& \frac{125}{216}\end{array}$$

Contrôle : $36+30+25+125=216$. ✓

Espérance.

$$E(Y)=\frac{1\times 36+2\times 30+3\times 25+4\times 125}{216}=\frac{36+60+75+500}{216}=\frac{671}{216}\approx 3,11.$$

Piège central : écrire $P(Y=4)={\left(\frac{5}{6}\right)}^3\times \frac{1}{6}$, par symétrie avec les trois lignes précédentes. Ce serait la probabilité d'obtenir un $6$ au quatrième lancer ; or on effectue ce quatrième lancer dans tous les cas où les trois premiers ont échoué. La somme des probabilités trancherait immédiatement : on n'obtiendrait que $\frac{91}{216}$, très loin de $1$.

Prolongement : sans la troncature, la loi de $Y$ serait $P(Y=k)={\left(\frac{5}{6}\right)}^{k-1}\frac{1}{6}$ pour tout $k\ge 1$ — la loi géométrique, dont on montre en terminale que l'espérance vaut $6$. La troncature à $4$ lancers rabote cette espérance de $6$ à $3,11$.