Démontrer par récurrence que pour tout entier

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 2 — Suites numériques, modèles discrets · Démonstrations par récurrence (programme de terminale)

Énoncé

Démontrer par récurrence que pour tout entier $n \geq 1$ :

$1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} .$

(Pour l'hérédité, ajouter $(n + 1)^{2}$ et factoriser par $(n + 1)$ .)

Corrigé

Notons $P (n)$ : « $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$ ». Initialisation. Pour $n = 1$ : $\frac{1 \times 2 \times 3}{6} = 1 = 1^{2}$ . $P (1)$ est vraie. Hérédité. Supposons $P (n)$ vraie pour un entier $n \geq 1$ . Alors

$1^{2} + \dots + n^{2} + (n + 1)^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} + (n + 1)^{2} = \frac{n + 1}{6} (n (2 n + 1) + 6 (n + 1)) .$

Or $n (2 n + 1) + 6 (n + 1) = 2 n^{2} + 7 n + 6 = (n + 2) (2 n + 3)$ , d'où

$1^{2} + \dots + (n + 1)^{2} = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 ) ( 2 ( n + 1 ) + 1 )}{6},$

c'est-à-dire $P (n + 1)$ . La formule est donc vraie pour tout $n \geq 1$ . Contrôle : pour $n = 4$ , la somme vaut $1 + 4 + 9 + 16 = 30$ et la formule donne $\frac{4 \times 5 \times 9}{6} = 30$ . ✓ Le point technique : reconnaître la factorisation $2 n^{2} + 7 n + 6 = (n + 2) (2 n + 3)$ — on la trouve en cherchant les racines $- 2$ et $- \frac{3}{2}$ (chapitre 3).

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.