mathématiques (première) · Chapitre 2 · Exercice supplémentaire

Démontrer par récurrence que pour tout entier

Suites numériques, modèles discrets · Démonstrations par récurrence (programme de terminale) · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Démontrer par récurrence que pour tout entier $n \geq 1$ :

$1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} .$

(Pour l'hérédité, ajouter $(n + 1)^{2}$ et factoriser par $(n + 1)$ .)

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Élève

Je vois bien la formule à démontrer, mais je ne sais pas par quoi commencer une récurrence. Il faut faire quoi en premier ?

Une récurrence a deux étapes, et on commence toujours par la plus simple. Quelle valeur de $n$ est la plus petite autorisée par l'énoncé, et que devient alors l'égalité ?

Élève

L'énoncé dit $n \geq 1$ , donc je prends $n = 1$ . À gauche il n'y a que $1^{2}$ , et à droite la formule avec $n = 1$ .

Oui, c'est bien le point de départ. Il te reste à calculer séparément les deux membres pour $n = 1$ et à les comparer : que trouves-tu de chaque côté ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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