La méthode de Héron. Pour approcher √a (a > 0), on pose u₀ = a et…

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 2 — Suites numériques, modèles discrets · Suites remarquables

Énoncé

La méthode de Héron. Pour approcher $a$ ( $a > 0$ ), on pose $u_{0} = a$ et

$u_{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{n} + \frac{a}{u _{n}}) .$

Pour $a = 2$ et $u_{0} = 2$ , calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ (huit décimales) et comparer à $2$ .
Montrer que si la suite tend vers un réel $ℓ > 0$ , alors $ℓ^{2} = a$ .
Écrire une fonction Python heron(a, n) rendant $u_{n}$ .

Corrigé

1. Avec $a = 2$ et $u_{0} = 2$ :

$u_{1} = \frac{1}{2} (2 + 1) = 1, 50000000; u_{2} = \frac{1}{2} (\frac{3}{2} + \frac{4}{3}) = \frac{17}{12} = 1, 41666667;$

$u_{3} = \frac{1}{2} (\frac{17}{12} + \frac{24}{17}) = \frac{577}{408} = 1, 41421569.$

Or $2 = 1, 41421356$ : dès le rang $3$ , cinq décimales sont exactes. Le nombre de décimales correctes double à chaque étape. 2. Si $u_{n} \to ℓ$ avec $ℓ > 0$ , alors $u_{n + 1} \to ℓ$ également, et le passage à la limite dans la relation donne

$ℓ = \frac{1}{2} (ℓ + \frac{a}{ℓ}), soit 2 ℓ = ℓ + \frac{a}{ℓ}, soit ℓ^{2} = a .$

La limite, si elle existe, est donc $a$ . 3.


def heron(a, n):
    u = a
    for _ in range(n):
        u = 0.5 * (u + a / u)
    return u

Prolongement : c'est la méthode de Newton appliquée à $x^{2} - a$ ; on la retrouvera au chapitre 5, dans le cadre général de la dérivation.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.