La suite de Fibonacci est définie par et

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 2 — Suites numériques, modèles discrets · Suites remarquables

Énoncé

La suite de Fibonacci est définie par $F_{1} = F_{2} = 1$ et $F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}$ .

Calculer les douze premiers termes, puis les quotients $\frac{F _{n + 1}}{F _{n}}$ pour $n$ allant de $1$ à $11$ (trois décimales).
Ces quotients semblent se stabiliser : vers quelle valeur ?
Montrer que si $\frac{F _{n + 1}}{F _{n}}$ tend vers un réel $φ > 0$ , alors $φ$ vérifie $φ^{2} = φ + 1$ . Résoudre cette équation (chapitre 3) : on obtient le nombre d'or.

Corrigé

1. Les douze premiers termes :

$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144.$

Les quotients $\frac{F _{n + 1}}{F _{n}}$ pour $n$ de $1$ à $11$ :

$1; 2; 1, 500; 1, 667; 1, 600; 1, 625; 1, 615; 1, 619; 1, 618; 1, 618; 1, 618.$

2. Ils oscillent en se resserrant autour de $1, 618$ environ. 3. En divisant $F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}$ par $F_{n + 1}$ :

$\frac{F _{n + 2}}{F _{n + 1}} = 1 + \frac{F _{n}}{F _{n + 1}} .$

Si $\frac{F _{n + 1}}{F _{n}} \to φ > 0$ , les deux membres tendent respectivement vers $φ$ et $1 + \frac{1}{φ}$ , d'où $φ = 1 + \frac{1}{φ}$ , soit $φ^{2} = φ + 1$ . Résolution : $φ^{2} - φ - 1 = 0$ , de discriminant $Δ = 1 + 4 = 5$ , donc $φ = \frac{1 \pm 5}{2}$ . Seule la racine positive convient :

$φ = \frac{1 + 5}{2} \approx 1, 618034,$

c'est le nombre d'or. Contrôle : $\frac{144}{89} \approx 1, 61798$ , à $2 \times 1 0^{- 5}$ près de $φ$ . ✓

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.